“四色定理”证明

申学勤 王若仲 刘晓东 何长勇

【摘要】1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位做地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色.这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？这就是著名的“四色猜想”.对于“四色定理”，其实只要在平面上或球面上证明设计不出至少需要五种颜色才能分辨出五块独立的封闭图形即可.形象一点，把五块独立的封闭图形看成五个人，封闭图形与封闭图形的公共边界，看成一个人与另一个人握手（握手限定为一只手与一只手）.假定五个人均有四只手，要求任一个人与另外四人均握手，五个人同时握手，看能不能实现任两人之间不出现重叠或交叉的情形.那么“四色定理”成立.

【关键词】四色定理；球面几何；线段；相交

1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（Francis Guthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色.这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？这就是著名的“四色猜想”.

电子计算机问世以后，1976年6月，由美国数学家阿佩尔（Kenneth Apprl）和哈肯（Wolfgang Haken）在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1 200个小时，作了100亿次判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了“四色定理”.

尽管随着计算机的普及，绝大多数数学家对“四色定理”的证明没有疑问，但某些数学家对经由电脑辅助的证明方式仍旧不够满意，希望能找到一个完全的“人工”证明.

一、连线段

定义1 平面上或球面上任意A，B两点之间有一条连线连接，我们则称这条连线为A，B两点之间的连线段.

二、封闭图形[1-3]

定义3 平面上或球面上任意两点之间有一条连线段，那么连线段两边最边端的点，称为平面上或球面上任意兩点之间连线段的端点.比如，平面上或球面上任意A，B两点之间有一条连线段，A和B就是端点.

定义4 平面上或球面上任意A，B两点之间有一条线连接，而连接A，B两点的连线段（除A，B两个端点外）中间不经过其他的已知点以及连接A，B两点的连线段（除A，B两个端点外）中间不与其他的连线段相交，则称A，B两点为直接连接.

定义5 平面上或球面上任意A，B两点之间有一条线连接，而连接A，B两点的连线段（除A，B两个端点外）中间经过了其他的已知点或者连接A，B两点的连线段（除A，B两个端点外）中间与其他的连线段相交，则称A，B两点为间接连接.

定义6 球面上一条连线段与另一条连线段有交点，则称这两条连线段相交；球面上一条连线段与另一条连线段没有交点，则称这两条连线段不相交.

定义7 如果整个球面上是由一些封闭图形组合而成的球面图形，我们则称这样的球面为球面组合图形.

定义8 平面上或球面上一个封闭图形，如果这个封闭图形内没有其他的封闭图形，我们则称这样的封闭图形为独立封闭图形.

定理2 球面上任意两两互不重合的A，B，C，D四点，任意两点之间作一条连线段，那么球面上必定会做出这样的图形：连线段的交点只是A，B，C，D四点.

证明 因为A，B，C，D为球面上任意两两互不重合的四点，我们按照一定的次序总可以把A，B，C，D设计为一个三棱锥形的四个顶点，这样的话，球面上A，B，C，D四点中，任意两点之间可以作一条连线段直接连接，那么球面上必定会出现这样的图形：连线段的交点只是A，B，C，D四点.故定理2成立.

定理3 球面上任意两两互不重合的A，B，C，D，E五点，如果任意两点之间作一条连线段连接，其中任一连线段（除端点外）中间不能经过其他已知点，那么球面上一定不会做出这样的图形：连线段的交点只是A，B，C，D，E五点.

证明 因为A，B，C，D，E为球面上任意两两互不重合的五点，任意两点之间作一条连线段连接，在球面上设计，可以按照如下程序操作：

（一）我们按照一定的次序总可以把A，B，C，D这四点设计为一个三棱锥形的四个顶点，这样的话，球面上A，B，C，D四点中，任意两点之间可以作一条连线段直接连接，那么球面上必定会是这样的图形：连线段与连线段的交点只是A，B，C，D四点.这样的话，我们就可以从前面得到的球面组合图形中不难得出结论：即这A，B，C，D四点中的其中任何一点相对于其他三点，这一点则在一个封闭的图形内.如果我们再按要求直接连接EA，EB，EC，ED，不管怎样连接，其中至少有一个连接始终要经过一个封闭的图形，所以其中至少有一个连接不能进行直接连接.也就是说对于球面上任意两两互不重合的A，B，C，D，E五点，如果任意两点之间作一条连线段，并且要求任一条连线段中间不能经过其他已知点，按照此要求不管怎样连接，最终得到的图形中至少会多出一个交点不在A，B，C，D，E这五点上.

（二）我们按照一定的次序总可以在球面上先直接连接AB，直接连接AC，直接连接AD，直接连接AE；接下来还可以直接连接BC，直接连接BD，直接连接BE；再可以直接连接CD；再可以直接连接DE；最后连接C点和E点的时候，我们还是要求直接连接，但是从前面得到的球面组合图形中不难得出这样的结论：最后连接C点和E点，要求中间不能经过其他已知点，那么连接CE始终要经过一个封闭的图形，所以按照此要求不管怎样连接，必定会多出一个交点.所以按照要求直接连接AB，直接连接AC，直接连接AD，直接连接AE，直接连接BC，直接连接BD，直接连接BE，直接连接CD，直接连接DE，直接连接CE是不可能实现的情形.也就是说，对于球面上任意两两互不重合的A，B，C，D，E五点，任意两点之间不可能均可作一条连线段直接连接.同时也说明对于球面上任意两两互不重合的A，B，C，D，E五点，如果任意两点之间作一条连线段，并且要求任一条连线段中间不能经过其他已知点，按照此要求不管怎样连接，最终得到的图形中至少会多出一个交点不在A，B，C，D，E这五点上.

综上所述，定理3成立.

定理4 球面上任意两两互不重合的A，B，C，D，E五点，如果任意两点之间作一条连线段连接，其中任一连线段（除端点外）中间不能经过其他已知点，那么球面上一定不会做出这样的组合图形：球面上的组合图形只由五个独立封闭图形组成.

证明：由定理3可知，定理4成立.

定理5 平面上能够设计出满足某一特征的组合图形，则在球面上也能设计出满足该特征的组合图形；球面上不能设计出满足某一特征的组合图形，则在平面上也不能设计出满足该特征的组合图形.

证明：在平面上和球面上设计均要满足某一特征的组合图形，因为在球面上设计可以从三维空间考虑设计，而在平面上设计只能从二维空间考虑设计，显然三维空间要好设计一些.故定理5成立.

定理6 设有独立封闭图形A，B，C，D，则平面上或球面上可以设计出独立封闭图形A，B，C，D的如下组合图形：独立封闭图形A，B，C，D中任意两两独立封闭图形均有公共边界；并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形.

证明 我们在球面上设置任意两两互不重合的E，F，G，H四点，由定理2可知，球面上任意两两互不重合的E，F，G，H四点，任意两点之间均可以作一条连线段直接连接，那么球面上必定会设计出这样的图形：连线段与连线段的交点只是E，F，G，H四点.这样球面上就出现了由四块独立封闭图形组合成的球面图形，其中任意两块独立封闭图形均有公共边界，并且任意两块独立封闭图形不重合以及任意两块独立封闭图形不部分重叠.所以球面上可以设计出独立封闭图形A，B，C，D中任意两两独立封闭图形均有公共边界的组合图形，并且不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形.

或者我们总可以把两两互不重合的E，F，G，H四点，根据拓扑变换，把两两互不重合的E，F，G，H四点拓扑变换为四块独立封闭图形，任意两点之间的连线段直接连接拓扑变换为公共边界，这样仍然可以得到独立封闭图形A，B，C，D中任意两两独立封闭图形均有公共边界；并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形.

综上所述，定理6成立.

定理7 设有独立封闭图形A，B，C，D，E，则平面上或球面上一定不会设计出独立封闭图形A，B，C，D，E的如下组合图形：独立封闭图形A，B，C，D，E中任意两两独立封闭图形均有公共边界，并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形.

证明 我们在球面上设置任意两两互不重合的F，G，H，I，J五点，假定任意两点之间可以作一条连线段直接连接，说明连线段与连线段的交点只是F，G，H，I，J五点.这样球面上就出现了只由五块独立封闭圖形组合成的球面组合图形，并且满足任意两块独立封闭图形均有公共边界，任意两块独立封闭图形不重合以及任意两块独立封闭图形不部分重叠.这样的情形就与定理3和定理4的情形产生了矛盾.这就说明对于球面上任意两两互不重合的F，G，H，I，J五点，任意两点之间不可能作一条连线段直接连接.同时也说明了球面上一定不会设计出独立封闭图形A，B，C，D，E的如下组合图形：独立封闭图形A，B，C，D，E中任意两两独立封闭图形均有公共边界，并且组合图形中独立封闭图形与独立封闭图形不重合或者独立封闭图形与独立封闭图形不部分重叠.

综上所述，定理7成立.

三、“四色定理”证明

四色定理：平面上或球面上每幅地图都可以只用四种颜色着色.

证明：由定理5和定理6以及定理7可知，平面上或球面上每幅地图中不可能出现有五块独立封闭图形是如下这样的情形：任意两两独立封闭图形均有公共边界，并且独立封闭图形与独立封闭图形不重合或者独立封闭图形与独立封闭图形不部分重叠.故四色定理成立.

【参考文献】

[1]朱德祥.初等几何研究[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]江苏师范学院数学系《解析几何》编写组.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1960.

[3]朱德祥.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983.