关注课堂教学的逻辑连贯
2018-05-15胡建林
胡建林
最近分别参与了两次活动:绍兴市数学中考复习研讨会和舟山市定海区数学中考复习研讨会,并在绍兴市中考复习研讨会上就“关注学生学习,提高复习效率”的主题与同行进行了讨论,在舟山市定海区中考复习研讨会上展示了一堂相似三角形的复习课.两次活动的参与,让我对中考复习有了新的体会和感悟,本文以相似三角形一种基本图形的复习课为例,用“相似三角形对应高线长之比等于相似比”这样的“逻辑连贯”数学问题为一节课的主线进行复习,旨在说明教师可以通过“逻辑连贯”问题,如一个常用定理,一个基本图形,一种常规方法等,貫穿数学复习课堂,使学生上一堂课精一类题,在理解知识点的同时综合运用各种思想方法解决问题,也借此抛砖引玉,与大家探索提高中考复习效率的有效方法.
一、复习课堂现状
在中考复习中,往往存在这样一些比较普遍的现象,一是一轮基础知识复习后,教师往往以整节课的题目讲解代替了复习课,使复习课十分单调乏味;二是复习课时觉得这个也重要那个也重要,于是不肯放弃任何问题,不看考纲,不分难易,不论主次,什么都讲,什么都要求学生掌握,表面看面面俱到,十分华丽,但实质是没有突出重点,而由此产生的结果往往是西瓜芝麻一起丢,一堂课下来学生听得累,教师讲得也累,收到的效果自然也不是特别好.
二、“逻辑连贯”教学思考
首先,在日常教学中发现“相似三角形对应高线长之比等于相似比”这个性质教材中也不是以黑体字的形式出现,而且学生用得少,也就慢慢忽视了这一性质的存在.但各地中考试题中出现用这一性质解决问题的题目还是比较多的,是一个容易忽略的问题.因此,怎样对此性质进行复习,并由问题解决的过程中,启迪学生思考,领悟分析、思考和解决问题的方法是教师需要解决的一个问题.
其次,因性质小,可以考虑直接给学生这一性质,让学生在证明这一性质的过程中重新认识,做好知识上和思想上的准备,它起着承上启下的作用,教学中应突出这一点.
第一,承上.应引导学生重新认识抽象的“基本图形”.第二,启下.应关注例题的教学,即将简单的“基本图形”与下面例题“较复杂的图形”建立起关联性整合.使学生在课堂学习中深刻感受到如何发现问题、分析问题、解决问题的整个过程,理解和认识知识发生和发展的必然的因果关系.体现了教师用书上对“理解”的阐述:能描述对象的特征及由来;能明确阐述此对象和有关对象之间的联系,从学生思维发展水平的角度出发,从数学内容的发生发展过程的角度出发,达成“过程性目标”.
再次,“由小及大”,基于学生,把握问题设计的主线.在温习好性质后,充分利用变式教学,创设一个个蕴含着活动性的问题,由问题情境构建模型,从一个正方形到n个正方形再到矩形甚至三角形.这样,以一个图形为基础,教师引导剖析了各题型,学生经历了一系列有梯度、有思维含量、有数学思想的变式题,学生就能从“相似三角形对应高线长之比等于相似比”这个逻辑连贯的数学问题完成“性质”的数学本质刻画;同时,在学生心中埋下了思维的种子,一旦今后遇到类似问题,这粒种子也许就能生根发芽.
三、“逻辑连贯”教学展示
基于以上的教学思考,给学生提供丰富的形象素材,从“表象”到“本质”,构筑起表象与数学本质的桥梁,从而提供一个抓住本质并对本质有准确理解的思维过程,促进学生在抽象的过程中充分理解高度抽象的“性质”.因此,教学以“性质重温”为基础,辅之以“变式问题驱动”.通过类比分析,将归纳方法与严密思考相结合,直观与抽象相结合,促使学生思维呈一个清晰的“螺旋上升”过程.
可构建如下框架:性质重温,提出问题→变式引导,类比分析→承上启下,运用性质→中考链接,性质再应用.
(一)性质重温,提出问题
相似三角形对应高线长之比等于相似比,常见情形如图1所示,△ABC中,DE∥BC,AM⊥BC交DE于点N,则DEBC=ANAM.
(二)变式引导,类比分析
如图2所示,在△ABC中,D,E分别在AC,BC上,DE∥AB.过D,C,E分别向AB作垂线,垂足分别为F,H,G,CH交DE于P,已知CH=6,AB=12.
1.正方形问题:
变式(1):如图3所示,若四边形DFGE是正方形,求正方形的边长.
变式(2):如图4所示,若四边形DFGE是并排的两个相等的正方形,求正方形的边长.
变式(3):如图5所示,若四边形DFGE是并排的n个相等的正方形,求正方形的边长.
练习:如图6所示,已知M是线段AB上一点,若△MDE是等腰直角三角形,求DE的长.
设计意图:这个练习是对以上正方形问题的巩固提高,其实质就是以上变式(1)(2)两种情况,同时,解决这个问题要进行分类讨论,把问题转化为正方形的情况,融多种数学思想于一体,有较丰富的思维含量.
2.矩形问题:
变式(1):如图7所示,矩形DFGE的最大面积为多少?
变式(2):如图8所示,已知M是线段AB上一点,则△MDE最大面积为多少?
设计意图:由正方形问题过渡到矩形问题,旨在培养学生知识的迁移能力,从中也体现了从特殊到一般的数学思想,解决问题时,还需要建立面积关于边长的二次函数模型,从而发现变化情况,求出面积的最大值,从中可以培养学生的建模能力.
(三)承上启下,运用性质
折叠问题:
变式(1):如图9所示,在DE的下方,作以DE为边长的正方形,设DE=x,正方形与△ABC的重叠面积为y,求y与x的函数表达式,当x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
变式(2):如图10所示,将△CDE沿DE折叠,使△CDE落在四边形ABED所在平面,设点C落在平面的点为M,DE的长为x,△MDE与四边形ABED重叠部分的面积为y,当x为何值时,y最大,最大值为多少?
设计意图:折叠问题使复习的梯度再次得以提升,思维含量大大提高,能培养学生的分类讨论的能力,能锻炼学生如何把问题转化为已学内容或者已解决的内容的能力,即转化的数学思想.
(四)中考链接,性质再应用
中考链接(2013年绍兴中考22题):
若一个矩形的一边是另一边的两倍,则称这个矩形为方形.如图11所示,矩形ABCD中,BC=2AB,則称ABCD为方形.
(1)设a,b是方形的一组邻边长,写出a,b的值(一组即可);
(2)在△ABC中,将AB,AC分别五等分,连接两边对应的等分点,以这些连接线为一边作矩形,使这些矩形的边B1C1,B2C2,B3C3,B4C4的对边分别在B2C2,B3C3,B4C4,BC上,如图12所示.
① 若BC=25,BC边上的高为20,判断以B4C4为一边的矩形是不是方形?为什么?
② 若以B3C3为一边的矩形为方形,求BC与BC边上的高之比.
设计意图:展示中考题,是这一性质在中考运用中的生动体现,激起学生研究这一问题的动力和信心,同时,中考题的解决,使这一性质的运用再次得到巩固.
四、“逻辑连贯”教学亮点
本课教学能根据数学新课标的基本理念,精心设计教学环节,采用启发式教学能引导学生分析、思考、探索、理解和掌握相似三角形的性质,同时充分利用多媒体教学手段,调动学生多种感官参与学习,让学生在变式中运用所学知识,体现了复习课的知识习题化,习题层次化.
(一)习题引路,有理有利
在知识梳理中,采用“一步到位”的策略给出本节课所要复习的知识(相似三角形的性质、基本图形“A字图”),切实做到知识习题化、知识问题化.教师从熟悉的问题出发,并借助问题串的形式,让学生在解题中不仅回顾了要复习的知识,而且强化了对基本图形和基本方法的认识,对综合性例题的学习很有帮助作用,通过这样的教学设计,既有理又有利.
(二)习题变式,层层推进
在变式引导,类比分析教学过程中,采用“小步走”的策略.先通过较简单的例题入手,引导学生利用相似判定及性质求正方形、矩形的边长.随后,设计层层递进的问题,通过逐步增加或改变一些条件,一步一步地引导学生深入分析问题和解决问题.学生在不同条件下寻求解决问题的方法,不仅有效巩固了相似三角形性质的应用,而且明确了此类题的解题思路:两个三角形相似,对应边上的高之比等于底边之比.同时,引导学生整理,归纳“基本图形”,强化对基本图形和基本方法的认识.为承上启下,运用性质的教学过程打下坚实的基础;设计的变式习题,不仅揭示了解决几何问题的基本方法,更是丰富了学生的思维空间,提高了学生的思维灵活性,促使学生的推理能力进一步得到深化和提高.
(三)基于学生,提高效率
本节课复习由一个“逻辑连贯”问题入手,涉及的知识点较多,题目设计的数量大.但是,通过导学案和课件进行演示,使本节课有充足的时间让学生进行思考和参与数学学习活动,同时也有足够的时间进行师生互动.从真实的课堂学习活动中,可以看到学生在分析问题、解决问题和归纳总结中时间充足、思考充分、解题过程规范有序;与此同时,教师有更多的时间参与学生的学习活动,能更加深入了解学生的学习情况和学习效果,能更有效把控学生学习目标的达成度,更体现了复习的效率.
五、结束语
在逻辑连贯上做大文章,讲透做足.不妨做一些这样的整理、归纳,教学中确定一个逻辑连贯,以此为主线,整理相关题型,并通过变式辅助教学;复习无定法,与其追求“大而全”的大包围形式,不如寻求“小而精”的格局,前者力争面面俱到,可惜平均化而无重点,或泛泛之谈,怎给人留下印象?后者可能不全面,但胜在有取舍有重心,可以谈得深说得透,使学生在上完一堂复习课后扎实掌握了一个定理的深入运用,熟练掌握了一种方法的巧妙运用,深入理解了一个图形的本质特征,使中考复习重点突出,难点突破,亮点不断,记忆犹新.
【参考文献】
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[2]涂荣豹.谈提高对数学教学的认识[J].中学数学教学参考(高中),2006(1-2):4-8.
[3]徐晓红.问题设计应基于理解[J].中学数学教学参考(中旬),2011(1):25-27.