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问渠哪得清如许,为有源头活水来

2018-05-15孙文淼

数学学习与研究 2018年8期
关键词:双曲线意图椭圆

孙文淼

随着课程改革进程的不断推进,人们的观念从只关注成绩逐步转向关注学生素质的发展.如何将核心素养的培养落实到平时的课堂中来,如何在潜移默化中提升学生核心素养,是当前最值得我们教师思考的问题.有专家指出,素养的形成,不是依赖单纯的课堂教学,而是依赖学生参与其中的数学活动;不是依赖记忆与理解,而是依赖感悟与思维.它应该是日积月累的.因此,基于核心素养的教学,要求教师要抓住知识的本质,创设合适的教学情境,启发学生思考,让学生在掌握所学知识技能的同时,感悟知识的本质,积累思维和实践的经验,形成和发展核心素养.下面以“双曲线及其标准方程”新授课的教学为例,阐述笔者的思考.

一、课前准备

学生在网上平台填写思维导学任务单,教师对学生填写的内容在课前先查看,并对上课内容做出相应调整.

(一)知识回顾篇

1.椭圆定义;2.椭圆定义满足的等量关系;3.椭圆定义中的关键词;4.大胆尝试修改关键词.

(二)知识拓展篇

观看教师提供的相应数学拓展知识文章及视频:卡西尼卵形线、阿波罗尼斯圆……学生对感兴趣的内容可以进一步再找相关资料上传至平台,互相交流.

设计意图:在科技飞速发展的今天,“互联网+”的新时代,学生在网上能获取的知识数不胜数.为了体现学生的主体地位,真正实现高效课堂,设计思维导学单作为学生课前自主学习、合作学习的内容.利用大数据引导学生了解更丰富的数学世界,给学生思维更大的空间,为学生思维品质的培养提供技术支持.

二、温故知新

教师展示课前学生网上填写的内容:回顾椭圆定义,椭圆定义满足的等量关系,椭圆定义中的关键词,并将关键词板书在黑板上.

设计意图:将椭圆知识的回顾作为双曲线整堂课的引入,既复习了之前学习的知识,也体现知识与知识间的联系,让学生已有知识继续生长,潜移默化中帮助学生建立知识体系.

三、思维碰撞

活动1:请大胆尝试修改关键词.

设计意图:提出一个问题往往比解决一个问题更重要,将探索的主动权教给学生,激起学生的兴趣.

活动2:教师利用几何画板展示“距离之积为定值”的卡西尼卵形线;“距离之商为定值”的阿波罗尼斯圆;空间中“距离之和为定值”的几种可能性——有双叶双曲线、椭球面等.

设计意图:

1.卡西尼卵形线在动态过程中形状不断变化,会引起学生强烈的好奇心及探索欲望,同时也体会到数学之美.

2.阿波罗尼斯圆之前学生略有涉及,引起了他们的回忆,进一步加深对其的理解.

3.空间中的双叶双曲线、椭球面,向学生展示了数学更为广阔的领域.

4.在几何画板的展示中培养学生直观想象的能力,学会用数学的眼光观察世界.

四、实验探究

活动3:挑选“距离之差”来深入探究,观察这时是怎样奇妙的几何图形.

1.取一条拉链,拉开它的一部分;2.在拉开的两边各选择一点,分别固定在F1,F2上;3.把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢画出一条曲线;4.改变拉链的左右位置.

各小组学生自主动手操作,教师请一组学生上黑板展示.

设计意图:给学生自己动手操作的机会,在实践中培养推理能力.

活动4:教师按步骤播放flash动画,模拟拉链实验.实验结束后,教师让学生仿照椭圆的定义,再根据黑板上这些关键词,简单描述双曲线的定义.

设计意图:通过层层深入的活动,引领学生逐步接近本质,探索出双曲线的初步定义.

五、拓展思考

问题1:大家觉得0<2a

问题2:① 如果2a=0,动点M的轨迹是什么?② 如果2a=F1F2,动点M的轨迹是什么?③ 如果2a>F1F2,动点M的轨迹是什么?

问题3:请提炼出双曲线的精确定义.

设计意图:教之目的在于学,学之目的在于思,利用问题启发学生思考,帮助学生完善概念,抓住核心,学会用数学思维分析世界.

六、推理论证

问题4:请回顾推导椭圆标准方程的过程.并仿照椭圆的步骤,推导出双曲线的标准方程.

教师提示步骤:建系—设坐标—列等式—代坐标—化简,学生利用5~10分钟自主完成推导.然后教师投影学生推导的过程,并在关键点处着重强调.

设计意图:学生运算能力的提升在于平时的训练,以及教师是否愿意在课堂上提供机会与时间,教师要给予学生充分的信任.课堂上这样的“留白”是值得的,也是必要的.

七、例题讲解

例1 判断下列方程是否为双曲线标准方程,如果是,请写出焦点坐标.

(1)x24-y22=1;(2)x24-y22=-1;(3)x24-y22=1.

设计意图:

1.通过简单的例题,讓学生辨别双曲线标准方程的基本形式,加深对双曲线标准方程的理解.

2.总结判断焦点位置的方法:化为标准方程后,x2,y2前的系数哪个为正,焦点就在相应坐标轴上.

例2 已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.

变式1:若把例2中的绝对值去掉,则点P的轨迹是什么?

变式2:若把例2中的6改为10,则点P的轨迹是什么?

设计意图:

1.通过求解,总结求解双曲线标准方程的方法和策略.

2.通过变式进一步理解定义中0<2a<2c=|F1F2|的条件.

例3 思考题:mx2+(2-m)y2=1表示曲线的形状变化.

设计意图:通过这道题的升华,提高习题质量.同时,复习之前学过的椭圆及圆的内容,进一步巩固方程的结构特征.

八、归纳总结

问题5:通过今天的学习,你有哪些收获?从知识的角度和思想方法层面来总结.

我们还能从数学美的角度再来回顾整节课,双曲线方程的对称美、简洁美……最后我们来欣赏几幅优美的图片来感受双曲线带给我们的视觉震撼!

反思:这堂课也引起了我的进一步思考,在“互联网+”时代,创新的课堂是我们的不懈追求.教师必须抛弃通过不断重复讲解,迫使学生记住信息的教学模式,避免对知识的囫囵吞枣和一知半解.康托尔说过:“数学的本质在于它的自由.”教师应该给予学生充分的时间用于思考与理解、探索与实践.问渠哪得清如许,为有源头活水来.只要让思维的火花在课堂闪耀,数学知识的生命力才能不断保持,核心素养才有生长的养分!

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