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再说微积分学中的这个重要函数

2018-05-14陆宗斌

知识文库 2018年14期
关键词:等价高阶导数

陆宗斌

在《微积分学中一个重要函数》一文中,我们对第一个重要极限

中的函数 进行了一系列的讨论,指出了一些显著的特点,但也挂一漏万,对于导数的计算也没有展开讨论,本文就进行这方面的讨论。

由于 的定义域为 ,所以由求导公式、法则可以得:

……①

显然,除了 点外, 处处可导, 连续。

作为 的一个可去间断点,我们可以补充定义后使其成为连续函数:

这样就有了 在 点处作为连续函数的导数问题,下面就从多个角度进行讨论:

1 几何图象观察(上文中有图象)

通过对 图象的观察,可以猜测: 在 点处不但是连续的,而且是光滑的,加上对称性, 在 点处应该有水平切线,即 。

2 直接定义计算

因为 不是初等函数了,所以由导数的定义计算:

……②

可以看到,②式这一极限计算仅用代数式的恒等变型是相当困难的,应采取其他办法。

(1)等价代换法 由第一个重要极限可知:当 时, ,于是

②式

似乎简单之极,但这是错误的做法!一则等價代换不适用于有加减运算的函数极限;二则,假设这个方法及计算是正确的,那么就有

即, 是比 高阶的无穷小,也就是 了,显然假设错误。

(2)罗必塔法则 两次使用罗必塔法则

②式

3 利用连续性计算

利用 时的导函数 ,取 时①式的极限:

注:上式中第三个等号是通过罗必塔法则计算而得到的。

通过上面的计算,我们可以得到:

显然, 在 点处是连续的。

那么, 二阶导数呢?更高阶的导数呢?另外等价代换时为什么出错?罗必塔法则使用正确合理吗?……,使用幂级数就能很好地说明及解决这些问题。

4 利用幂级数进行讨论

正弦函数有幂级数展开式:

等式两边同除 后,左边就是 ,这时 不能为 ,而右边幂级数中 ,原因是 为 的可去间断点,幂级数恰好去除了这个间断点,所以,的求导就成为逐项(幂函数的)求导

(若增加余弦函数的幂级数展开式,我们可以将①式进行展开,其结果与上式一样。)

所以 ,计算十分简单。

同时, 的高阶导数计算也容易多了

……

另外,等价代换问题也可以解释了,正弦函数及其展开式两边同减

在由②式相关的下面极限中

当 时,为无穷小量;当 时,等于 ;当 时,为无穷大量。

是一个与 同阶的无穷小量。说明 与 是有差距的,但误差不大,等价无穷小相减后会成为(比自身)更高阶的无穷小,也就是误差更小,但仍有差距。如果代换后成为直接抵消就是没有了差距,所以前面的计算是巧合,等价无穷小代换是有条件的。

可以看到, 与 是最简单也是最熟悉的函数,仅作一个相除而得到的函数 ,诸多性质发生了变化,引出的许多问题及解决方法贯穿整个微积分学,用级数解释无穷小等价代换、解决求导问题(包括高价导数)、解决可积而积不出问题、…,都十分简单、方便。

(作者单位:苏州健雄职业技术学院)

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