再说微积分学中的这个重要函数

陆宗斌

在《微积分学中一个重要函数》一文中，我们对第一个重要极限

中的函数 进行了一系列的讨论，指出了一些显著的特点，但也挂一漏万，对于导数的计算也没有展开讨论，本文就进行这方面的讨论。

由于 的定义域为 ，所以由求导公式、法则可以得：

……①

显然，除了 点外， 处处可导， 连续。

作为 的一个可去间断点，我们可以补充定义后使其成为连续函数：

这样就有了 在 点处作为连续函数的导数问题，下面就从多个角度进行讨论：

1 几何图象观察（上文中有图象）

通过对 图象的观察，可以猜测： 在 点处不但是连续的，而且是光滑的，加上对称性， 在 点处应该有水平切线，即 。

2 直接定义计算

因为 不是初等函数了，所以由导数的定义计算：

……②

可以看到，②式这一极限计算仅用代数式的恒等变型是相当困难的，应采取其他办法。

（1）等价代换法 由第一个重要极限可知：当 时， ，于是

②式

似乎简单之极，但这是错误的做法！一则等價代换不适用于有加减运算的函数极限；二则，假设这个方法及计算是正确的，那么就有

即， 是比 高阶的无穷小，也就是 了，显然假设错误。

（2）罗必塔法则 两次使用罗必塔法则

②式

3 利用连续性计算

利用 时的导函数 ，取 时①式的极限：

注：上式中第三个等号是通过罗必塔法则计算而得到的。

通过上面的计算，我们可以得到：

显然， 在 点处是连续的。

那么， 二阶导数呢？更高阶的导数呢？另外等价代换时为什么出错？罗必塔法则使用正确合理吗？……，使用幂级数就能很好地说明及解决这些问题。

4 利用幂级数进行讨论

正弦函数有幂级数展开式：

等式两边同除 后，左边就是 ，这时 不能为 ，而右边幂级数中 ，原因是 为 的可去间断点，幂级数恰好去除了这个间断点，所以，的求导就成为逐项（幂函数的）求导

（若增加余弦函数的幂级数展开式，我们可以将①式进行展开，其结果与上式一样。）

所以 ，计算十分简单。

同时， 的高阶导数计算也容易多了

……

另外，等价代换问题也可以解释了，正弦函数及其展开式两边同减

在由②式相关的下面极限中

当 时，为无穷小量；当 时，等于 ；当 时，为无穷大量。

是一个与 同阶的无穷小量。说明 与 是有差距的，但误差不大，等价无穷小相减后会成为（比自身）更高阶的无穷小，也就是误差更小，但仍有差距。如果代换后成为直接抵消就是没有了差距，所以前面的计算是巧合，等价无穷小代换是有条件的。

可以看到， 与 是最简单也是最熟悉的函数，仅作一个相除而得到的函数 ，诸多性质发生了变化，引出的许多问题及解决方法贯穿整个微积分学，用级数解释无穷小等价代换、解决求导问题（包括高价导数）、解决可积而积不出问题、…，都十分简单、方便。

（作者单位：苏州健雄职业技术学院）