排列与排列数公式教学设计

摘要：《排列与排列数公式》是高中选修2-3内容，是中学数学计数方法基本公式。本文中，在排列与排列数公式教学设计中引入探究式教学模式，用探究性的问题串引领数学概念的构建。

关键词：排列；排列数；教学设计；数学概念；构建

教学过程

一、 问题引入

1. 请你例举出一个车牌照号码！

2. 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现，字母在前，数字在后，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

二、 铺垫

从生活中三个简单常见的计数问题出发，激发学生探究的兴趣。

问题一：从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的淮安市和南京市上色，有多少种不同的着色方案？

问题二：从1、2、3、4、5、6这六个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数？

问题三：10名同学站成一排照相，有多少种不同的排法？

第一个问题以淮安市和南京市上色作为背景，让学生了解颜色区分地图的背后，蕴涵了丰富的数学知识和文化，既为抽象概括排列定义，也为最后回到着色问题埋下伏笔。

第二个问题排数问题来自教材，既为抽象概括排列定义，也为后面探究二中顺利加大排数问题的难度做好的铺垫。

第三个排队问题，排队照片为本班10名同学，激发学生对问题本身感兴趣的同时，能深入挖掘问题的本质属性，也为后面全排列概念的顺理成章地得出及课后探究中有条件的排队做好铺垫！

【教师提问1】：你能利用前面所学计数原理的知识解决问题吗？

【学生探究1】：巩固复习分步计数原理（可借助框图直观表示），同时会用列举法或树形图把结果一一列出。

三、 特点探寻，归纳提炼

【教师提问2】：这三个问题有哪些共同特征？

【学生探究2】：引导学生得出都是分步计数问题，运算有规律，都是从若干个不同元素选出元素，选出的对象都要排序，顺序不同方案不同。

难点突破：引导学生从三个问题的事情本身出发，将颜色、数字、同学抽象为元素，元素顺序不同结果就不一样。

四、 探究归纳，形成概念

排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（Arrangement），这样的所有排列的个数叫排列数。

【教师提问3】：这三个问题有无不同点？

【学生探究3】：学生探究得出全排列、选排列的定义。

五、 概念辨析，引出排列数符号

引导学生对排列定义的再理解，让学生归纳出值得注意的关键词：

（1）n个不同的元素；（2）取出m（m≤n）个元素；（3）一定的顺序。

对排列定义的巩固，判定下面问题哪些是排列问题，如果是排列数是多少？

（1）从四个男生中，任选两名同学组成一队参加年级乒乓球男双比赛；

（2）从四位男同学中，任选两位同学分别参加上下午的活动；

（3）从0～9这9个数字中，任选4个不同的数字（可重复）作为手机的密码；

（4）从8名同学中选4人参加4×100米接力赛；

（5）圆上10个不同点，过每2个点，画一条弦；

（6）圆上10个不同点，以其中每2个点作有向线段；

（7）1、3、5、7、11这5个质数任选两个相乘；

（8）1、3、5、7、11这5个质数任选两个相除；

（9）一个学生有20本不同的书，这些书以不同的方式排在一个单层的书架上；

（10）53位同学随机选8位派往8个不同的地方参加活动，每个地方派一人。

学生争论辨析判定后再追问，其中的排列问题各有多少个不同的排列？类比问题一、二、三用分步计数原理解决问题，分别得到：

4×3，8×7×6×5，10×9，5×4，4×3，

20×19×18×17×…×2×1，

53×52×51×50×…×47×46

【教师提问4】：结合前面的三个问题，这些排列数有哪些共同特征？

【学生探究4】：学生找出规律的同时，指出书写繁琐的共同点，类比小学引入乘号简化加法运算，自然引入数学符号Amn，对比运算符号Amn更简洁，从而体现了数学符合的简洁美，随之简单介绍排列数符号的发明者法国数学家范德蒙德，体现数学丰厚的文化背景。

六、 揭示规律，导出公式

【教师提问5】：A23、A34，A410、A48，A2n、A3n表示什么？等于多少，继续追问更为一般的Amn表示什么？等于多少？

【学生探究5】：学生独立思考分析解决并展示。

Amn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），（m，n∈N*，且m≤n）。

引导学生对公式的理解：

（1）从n开始依次递减连续m个正整数的积；

（2）m、n都是正整数且m≤n；

（3）符号Amn既表示一个结果，又表示一种运算。

这样，一个问题若是排列问题，就可用上式求出具体的排列个数。（简化了运算过程）

说明特殊情况Ann=n（n-1）（n-2）…3×2×1。

简单记为n！，读作n的阶乘，强调这个符号更为简洁的同时，顺提阶乘符号的发明者法国数学家基斯顿·卡曼。

七、 公式应用，突出优越性

探究二：从0～6这7个数字中，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

学生结合所学知识多角度对问题进行思考，对比分步计数原理的解题方法，突现排列优化步骤的特点，并进一步跟进对引例步骤的优化：

随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现，字母在前，数字在后，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

学生独立思考并完成优化6个步骤简化为2个步骤，再次让学生体会排列的优越性。

八、 强化公式，跟进新公式

学生计算排列数（1）A38；（2）A88A55；（3）A37；（4）7！4！。

【教师提问6】：学生给出答案后问，有何数学发现？

【学生探究6】：猜测出一般的结论Amn=n！（n-m）！，

根据课堂时间让学生尝试证明，让学生展示并点评，否则作为课后作业，顺便说明公式中如果m=n时，Ann=n！0！，Ann=n！，故規定0！=1。

九、 小结

1. 本节课我们学到了哪些基本概念和公式？

2. 研究过程中体会了哪些数学思想和方法？

3. 通过本节课的学习有哪些收获和困惑？

参考文献：

[1]胡松.以数学素养导引数学活动[J].数学通报，2017（1）：26-29.

[2]张先龙.基于数学核心素养的教学设计[J].数学教学参考，2017（1）：16-18.

[3]石志群.对数学核心素养几个问题的思辨[J].教育研究与评论，2016（11）：15-21.

[4]何桂琴.高考数学逻辑推理试题分析[J].数学通讯，2017（1）：41-47.

作者简介：

陈海波，江苏省淮安市，江苏省盱眙中学。