一道中考错题的分析与启示

赵仑

笔者在做广安市2017年数学中考题的时候，发现自己的做法以及答案与提供的标准答案均不同。用不同的方法得出不同的结论，这就出现了矛盾。笔者进一步对该试题进行深入研究，得出针对该题的分析、思考以及对教学的启示。

经过这样的修正，不仅消除了条件中的矛盾，同时此题需要考查的三个知识点：①解（直角）三角形；②相似三角形的判定；③相似三角形的性质均的得到保留。

5 三点启示

5.1 提升作图教学在几何教学中的地位

对于几何的解题方法，笔者印象最为深刻的是在单樽教授开设的《解题方法研究》课上，单樽教授的一句话：当遇到一题不会做的几何题时，按照题意重新画出图形，很多时候解法就自然想到了。看似很简单、很普通的一句话，但是却蕴含着教授一辈子对于几何解题方法的心得和体会。

作为教师，我们深谙作图的妙处，如：能直观的看到整个图形详细的构建（思维的分析与综合）；能全面的了解条件（思维的抽象与概括）；能在作图的过程中，找到奠基三角形（搭建解题支架）......如果上述中考题在作图中，能够考虑到奠基三角形，那么就一定可以避免出现条件与条件之间相斥的现象（思维的比较与分类。）在实际教学中，我们也同时切身的感受到，学生的作图能力非常欠缺，这样的欠缺在很大程度上就阻碍了学生在几何解题能力上的提升和发展。因此，在几何教学中重视作图教学就显得尤为重要。笔者曾经在一段时期的几何课堂教学中，尝试着由学生自己根据条件画出图形。初始阶段虽有各种困难，但随着时间的推移，效果逐步显现，学生自己作图对寻找正确解题思路的提供了很大的帮助。

5.2 重视学生错误的教学意义

就宏观的数学学习的过程而言，一般来说都是先提出假设，继而证实（或证伪）假设，最后修正假设。从这个角度看，错误可能是学生在学习过程中对一个假设进行的某种尝试。作为教师，很准确的抓住这个错误，协助学生对这些假设进行修正，学生的学习能力和自我发现问题、解决问题的能力自然可以得到提升。从情感目标这个维度看，《课程标准》明确指出“对学生学习数学的错误，教师要耐心引导，并分析其产生的原因，鼓励他们自己去改正，从而增加学习数学的兴趣和信心。”

因此，学生在不断纠错的学习过程中，不仅仅得到了正确的答案，更领略了猜想、探索的过程，这样获得的成就感才是持久的。哲学家黑格尔说过“错误本身乃是达到真理的一个必然的环节”。因此，教师只有真确面对学生在解题、思维上的各种错误因素，才有可能取得好的教学效果。

从具体的数学学习角度看，学生在学习数学的过程中，产生错误的原因既有学生的因素，也有教师的因素，但纠其根源还是教师的因素。教师重视学生错误的教学意义，在备课中，教学设计将更加精准，课堂教学模式和教学策略将更加合适，教学的有效性也必然得到提升。

以本文的中考题为例，如果我们能够在课堂上抛出矛盾，甚至是学生自己发现矛盾，那么“高高在上的中考题”与“竟然是错题”差别如此之大的信号，一定会引起学生的注意。学生在纠错过程中，上文论述的思维和解题能力，势必会得到有效的提升。学生学会从别人的错误中提高自己，比被动的反复灌输会更有效果。

5.3 添加辅助线的教学简单化

添加辅助线是学生在几何学习中一个的必修内容，以辅助线为主题的研究、探讨经久不衰。归纳起来，无非两个主题：①是否需要添加辅助线；②怎样添加辅助线。添加合适的辅助线能巧妙的将条件连接起来，成为解决问题的桥梁；有时也可以起到简化证明方法的作用；这也是主题①所讨论的重点；主题②的讨论更多，分类更细，更得出了很多常规化、模式化甚至是口诀化的添加辅助线方案。

章建躍教授在《数学教育心理学》中，对于辅助线添加的描述则更为简洁：辅助线的添加通常都是与图形变换有关。因此，在添加辅助线的教学中，适度简化，用两个问题取代上述的两个主题：此题一定要添加辅助线吗？这样添加的辅助线正确吗？

（作者单位：南京玄武外国语学校）