求解值域取值范围的常见途径

韩兴丽

1 通过集合的子集关系解答值域问题

将问题转化为两个集合的子集关系是解答值域问题的常见方法之一，如下述例1、2就是该类问题，在例1中： ， ，问题就转化为：哪一个集合可能是另一个集合的子集问题？因为 ，所以只有B才有可能成为A的子集，故选B；在例2中：求出例2中函数的单调增区间： ，即函数 的单调减区间。将问题转化为 是上述已求集合的子集关系问题，根据二次函数的性质并结合题意，例2可化为不等式组： 解得.

例1.若 ， ，则正确的是（ ）

A、 存在实数a使

B、存在实数a使

C、存在实数a使 D、不存在实数a使

例2.已知函数 在区间 是增函数，则a的取值范围是

2 通过函数的定义域和值域解答值域问题

直接确定函数的定义域和值域，或通过函数的定义域和值域来解答其它参数的值域问题也是我们常见的问题，解答该问题有时需要综合分析能力。如下述的例3：问题（1）是指x取遍所有实数， 恒成立，于是由 时，只有 时符合； 时，只有 且 时符合，从而解出所求答案。问题（2）是指x为何值时， 才能取遍所有正实数，只有 且 時才符合。

例3.已知函数

1.若函数的定义域为R，求实数m 的取值范围。2.若函数值域为R，求实数m 的取值范围。

3 利用函数性质解答值域问题

函数的性质反映了函数的实质性问题，利用函数的性质解答数学问题是数学中常用的普遍方法，称为打开解题大门的金钥匙之一，所以，解答值域问题也不会离开这把“金钥匙”。在答值域问题中，有时利用它可直接作答；有时利用它可设想“立新命”作答；有时还可“巧妙构思”作答。如：例4可根据 ，假设 为既奇又单调性函数时，解答便容易得多。所以可先证“函数 既奇又单调减函数”这个新命题后再做解答。

例4.设 ，若 ，且 ，求a的取值范围。

4 利用分离变量法解答值域问题

一个函数中或方程（含不等式）中有较多的变量时，直接解答较麻烦，需要根据具体情况将变量按类分离在方程（不等式）的两边进行解答。

5 利用换元思想解答值域问题

在解数学题时，通过变量代换，变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准问题标准化、复杂问题简单化，使问题得以容易处理。

例5.已知 ，试求 的取值范围。

解析：如何运用题设条件，将 转化成只含一个变量，是解决此问题的关键，由 联想到椭圆的参数方程： ，或将 看作一个整体t，利用数形结合、方程的思想解决都不失为一种好方法：

方法一：令 ，则 ，

方法二 ，则 代入 得： ，因方程有实数根，故 ，

综合点评：①值域问题含概最值问题，如何求解最值？该文提到的方法适应，所以，本文有意选了求最值的问题。②值域问题是研究数学问题的重要组成部分之一，所以，认真学好值域问题也是学好数学的必须过程。③值域问题的研究仍体现着数学思想方法的重要性，如函数思想、方程观点、数形结合的思想、化归转化的思想仍居首位，特别是函数思想、方程观点尤其重要，又如在解析几何中，不管问题的难度如何，都是在寻求a、b、c之间或相关量之间的关系，即方程式（组）或不等式（组），从而解之的所求结论。④值域问题是较广泛的一个数学问题，它贯穿于高中数学的始终，它具有题型新颖、灵活性强、知识面广等综合性较强的特点，本文列举的几例，仅为启发而已。

中学阶段，很多试题有称“换汤不换药”之方法，意思就是从数学思想方法和数学思维这个高度讲的，即很多试题的解法在数学思想方法方面是相同的或相似的，只要你平时能多注意些这方面的积累（但不能刻意去引用），再适当的注重些数学演绎推理能力、数学合情推理能力的提高，数学解题能力会有意想不到的提高。

（作者单位：太原市交通学校）