都是定义域“惹”的“祸”

高磊

[摘 要] 对口单招高考数学有关函数考题，学生常因忽略了定义域导致出错失分.在单招高考数学函数复习中有针对性地训练学生牢固树立“定义域优先”意识，数学对口单招考试成绩有效提升，考生质疑辨析能力大幅提高，有利于学生良好的数学思维品质培养，有利于学生思维能力的提高，最终达到学生思维创造性的培养。

[关 键 词] 单招高考；函数；定义域；优先原则

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）08-0142-02

函数是对口单招高考数学最基本的内容之一，函数思想贯穿于整个对口单招数学学习的始终.函数三要素对应法则、定义域、值域，定义域是研究函数时不可忽略的一个重点，是函数最本质的特征，在解决问题过程中，如果忽视函数的定义域，常常会事倍功半，甚至误入歧途.对口单招考试在函数问题研究中学生常常因忽略了定义域，导致不知不觉中“犯错”，常常对此感到懊恼，认为自己“太粗心了”.究其原因都是忽略定义域“惹”的“祸”，下面结合对口单招迎考复习过程中的实例剖析错因，归纳在函数复习过程中“定义域优先”原则的应用，强化学生关注定义域的解题意识，切实解决“粗心”问题，提升复习成效.

一、求函数值域时应优先研究“定义域”

例1 求函数y=4x-5+■的值域.

错解：令t=■，则2x=t2+3.

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+■）2+■≥■.

故所求的函数值域是[■，+∞）.

解析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函数，

则t=0时，ymin=1.

所以原函数值域为[1，+∞）.

评注：许多数学问题的求解出错都是因忽略了函数的定义域，优先考虑定义域有利于理清解题思路，启迪线索.

二、研究函数单调性时“定义域”优先

例2 函数f（x）=ln（4+3x-x2）的单调递减区间是

.

错解：[■，+∞）

分析：在定义域（-1，4）内研究单调区间，正解[■，4）.

例3 若f（x）=log2（3-ax）在区间[1，2]上递减，求a的范围.

错解：由复合函数的单调性知f（x）=log2（3-ax）在区间[1，2]上递减，则有a>0.

分析：f（x）=log2（3-ax）在区间[1，2]上递减时蕴含着f（x）=log2（3-ax）在区间[1，2]上有意义，即a>03-ax>0对x∈[1，2]恒成立，则a>0a<■min，解得0

例4 （2013年江苏对口单招22题） 设二次函数f（x）=ax2+（b-2）x+2b-3a是定义域在[-6，2a]上的偶函数.

（1）求a，b的值；

（2）解不等式（■）f （x）>2-2x；

（3）若函数g（x）=f（x）+mx+4的最小值为-4，求m的值.

解析：（1）函数f（x）在[-6，2a]上为偶函数，优先考虑定义域关于原点对称，则得a的值；（2）略；（3）學生在求函数g（x）的值域时容易误认为定义域为R，忽略f（x）的定义域而导致在解题过程中分析问题不全面，造成无谓丢分.

评注：在研究有关问题中有定义域优先原则的意识，能够充分挖掘题目中的隐含信息即定义域优先原则有“显隐功能”.

三、研究函数奇偶性时“定义域”优先

例5 判断函数f（x）=（x+1）■的奇偶性.

解：要使f（x）有意义，则■≥0，解得-1

很好地巧用函数的定义域优先法则，既提高了解题思维的敏捷性，又可以避免复杂的变形与讨论，使问题简洁获解.

例6 判断函数f（x）=■的奇偶性.

解：因为函数定义域为[-■，0）∪（0，■]关于原点对称，

所以f（x）=■，则f（-x）=-f（x），所以函数f（x）为奇函数.

评注：在研究有关问题中有定义域优先原则的意识，能够充分挖掘题目中的隐含信息即定义域优先原则有“化简功能”.

四、研究极值、最值时“定义域”优先

例7 若函数f（x）=x+■+ln x，试讨论函数f（x）的极值存在情况.

解：f ′（x）=1-■+■=■（x>0） 令g（x）=x2+x-a，

因为g（x）对称轴x=-■<0，所以只需考虑g（0）的正负，

当g（0）≥0即a≤0时，在（0，+∞）上g（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值.

当g（0）<0即a>0时，g（x）=0在（0，+∞）是有解，函数f（x）存在极值.

综上所述：当a>0时，函数f（x）存在极值；当a≤0时，函数f（x）不存在极值.

例8 求函数f（x）=sin x+■，x∈（0，π）的最小值.

解析：本题若忽略定义域特别是sin x∈（0，1]，换元后容易误用基本不等式求最小值.实质上换元后用导数法判断单调性，由单调性求最值.

评注：若忽略定义域则需繁杂的讨论，解题中需充分挖掘定义域的“显隐功能”.

五、研究函数在实际问题应用中“定义域”优先

在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域不仅要满足函数关系式有意义，还要满足实际问题本身有意义即实际问题对函数定义域的影响.比如函数自变量为人数时，就要考虑定义域为某个范围内的整数。

六、解对数不等式时“定义域”优先

例9 解不等式log2（8-2x-x2）≤3.

错解：∵log2（8-2x-x2）≤log28

∴8-2x-x2≤8，得不等式解集为（-∞，-2]∪[0，+∞）.

因忽略定义域，而容易导致以上错解，解对数不等式应在定义域的范围内求解即所求范围与定义域取交集.因此在解对数不等式时，要有定义域优先原则的应用意识.

综上，在求解函数的解析式、值域、单调性、奇偶性等有关问题中，要密切关注函数的定义域，牢固树立“定义域优先”意识.先研究挖掘隐含条件对函数定义域是否有影响，对解题过程是否有影响，有利于学生质疑辨析能力的提升，有利于学生思维品质的培养，逐步培养学生的数学思维能力，最终实现学生思维的创造性培养.