对两道解析几何模拟试题一般结论的探究

于娜

[关    键   词]  解析几何;模拟试题;一般结论

[中图分类号]  G633.65               [文献标志码]  A             [文章编号]  2096-0603（2018）27-0136-01

在我们的高三模拟考试试题中，有两道解析几何试题值得我们研究一番，能使我们更好地研究这类题目和编拟模拟试题.

题1.如图1，点B（■，0）是圆A：（x+■）2+y2=16内的一个定点，点P是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程;

（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求EN×FM的值.

解：（1）因为点Q在BP的垂直平分线上，∴QB+QA=QP+QA=4，从而点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，此时，a=2，c=3∴b=1，所以曲线C的方程为■+y2=1.

（2）由题设知，直线的斜率存在.

设直线QE的方程为y=k（x-2），Q（x1，y1），E（x2，y2），

由y=k（x-2）■+y2=1，得（1+4k2）x2-16k2x+16k2-4=0，

因为x1x2=■，x2=2，

所以x1=■，所以Q（■，■），

因为点F，N，Q共线，kFN=kFQ，

所以■=■，即xN=■=■，

又直线QE与y轴的交点纵坐标为yM=-2k，

所以EN=2-xN=■，FM=1-yM=1+2k，

所以EN×FM=4

此题有没有一般性的结论，答案是肯定的.

推广 已知点P（x0，y0）是椭圆■+■=1（a>b>0）上不同于顶点的任意一点，

A（a，0），B（0，b），直线AP交y轴于点C，直线BP交x轴于点D，则BC·AD为定值.

证明：直线AP方程为y=■（x-a），则C（0，■），

同理直线BP方程为y=■x+b，则D（■，0），

所以BC=■，AD=■

所以BC·AD=■·■

=■=2ab.

题2.已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）过点T（■，-■），且半焦距c=■.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）如图2，已知点D（■，0），A（2，1），过点B（3，0）的直线l与椭圆相交于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴分别相交于M，N两点，试问DM·DN是否为定值？如果是，求出这个定值：如果不是，请说明理由.

（1）解：由题意，得a2-b2=3■+■=1，解得■+■=1

（2）设直线l的方程为x=my+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），当直线AP的斜率不存在时，直线BP与椭圆C相切，不符合题意，同理可得直线AQ的斜率存在，故直线AP方程为

y-1=■（x-2），则点M（■，0），同理点N（■，0）

由a2-b2=3■+■=1，得（2+m2）y2+6my+3=0，

由Δ=36m2-12（2+m2）>0，得m2>1，

又y1+y2=-■，y1y2=■

所以DM·DN=[■-■][■-■]

=■=■=■

故DM·DN为定值，且DM·DN=■.

这个■是不是偶然结果，不是偶然结果，那么必然结果是什么，经过一番探索，答案是点D的横坐标与点B的极线与x轴的交点的横坐标之间距离的平方.

我们利用一些高中教材以外的知识对我们解过的解析几何进行一番深刻的挖掘和推广，能使我们更加灵活地研究高考试题和模拟试题，也会为我们编拟高考训练模拟试题提供更廣阔的思维空间.