浅谈数学解题过程中的逆向思维

陈子戎

摘 要：面我就几个方面谈谈我对正难则反思想的体会.

关键词：逆向思维；数学

在解决数学问题的过程中，有许多问题从正面入手困难重重，若改由反面入手却常常能出奇制胜。这是一种重要的思维方式，利用这种思维方式在处理一些数学问题的时候，往往有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。下面我就几个方面谈谈我对正难则反思想的体会.

一、集合中体现为补集思想

当题目直接求解较繁、较杂甚至不能求解时，通过先求得问题的反面进而求其补集以达到解决问题之目的.

例1. 三个方程x2+4mx-4m+3=0，x2+（m-1）x+m2=0，x2+2mx-2m=0中至少有一个方程有实根，试求m的范围.

分析：本题从正面入手应分类求解，繁不堪言，若从反面“三个方程均无实数根”思考，在实数范围内除去反面求得的解即为m的取值范围.

解：若三个方程都没有实根，则

解得

三个方程至少有一个方程有实根m的取值范围是 或 .

二、 命题中体现为逆否命题

逻辑学认为原命题与它的逆否命题是等价的，也就是原命题真，则它的逆否命题也真。

在一些命题的真假性或条件与结论的充分必要性的判断中，正面判断比较难或者不容易理解，那么不妨跳出思维框架，转化为考虑逆否命题的真假性或者利用逆否命题判断充分必要性.

例2. 的充要条件是.

分析：从正面入手 与 中至少有一个不等于0，即 或 ， 或 ，得到 或 ，这对很多同学而言都有一定的理解障碍，但如果从反面来看， 的充要条件是： 且 能得到 且 . 那么利用逆否命题即能得到 的充要条件是 或 .

从逆否命题来处理确有茅塞顿开、恍然大悟的感觉.

三、证明中体现为反证法

反证法也是逆否命题的一个应用，即在证明若p则q中转化为证明若非q则非p，通过否定结论后再作为条件推出与题设的矛盾. 特别对于一些有否定词的命题或“至多”“至少”型的命题尤为适宜.

例3. 如图：已知在△ABC中，∠BAC=60°，线段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H为垂足，求证：H不可能是△DBC的垂心.

分析：对于一个不是垂心的点，感觉无从下手，对于垂心，则可以应用它的一些垂直关系。本题要想从条件入手证明十分困难，我们可以通过反面采用反证法证明.

证明：（反证法）假设H是△DBC的垂心，

则CD⊥ BH，又AH⊥平面DBC

∴BH是AB在平面DBC的射影，由三垂线定理得CD⊥AB

又∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥AB ∴AB⊥平面ACD，

得AB⊥AC即∠BAC=90°与∠BAC=60°矛盾

∴假设不成立，即证H不可能是△DBC的垂心.

反证法是一种重要的数学思想方法. 牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”.这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位，也充分体现了正难则反思想在解题中的应用.

四、排列组合、概率中体现为间接法

对于某些排列的正面情况较复杂，而其反面情况较简单时，可先考虑无限制条件下的排列，再减去其反面情况的总数. 在概率计算中则可以通过1减去其对立事件的概率.

例4. 1 四面体的顶点和各棱的中点，共10个点，在其中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.

（A）150 （B）147 （C）144 （D）141 [97年全國理（15）]

分析与解：该题当然可以用直接法求解，但怎样合理分类令众多考生“雾里看花、不知所措”；若有考生能想到“通过求得问题的对立面”（即4个点共面的情况）

这种间接方法求解的话，则问题变得较为明朗、易解，具体解法如下：

从10个点中取出4个点的取法有 种，而四点共面的取法可分以下三类：第一类，4个点恰好在四面体的同一面上有 种；第二类，4个点恰好是一个平行四边形的顶点有3种（如平行四边形EFGH）；第三类，4个顶点恰为一条棱上的三点和相对棱的中点有6种（如△BCG）；所以符合条件的取法数为：

- -3-6=141种.故选D.

例4.2 抛掷两个骰子，至少出现一个5点或6点的概率为（）

A. B. C. D.

分析：该题若采用直接分类，可以记“恰好出现一个6点而没有5点”为事件A；“恰好出现一个5点而没有6点”为事件B；“恰好出现一个5点和一个6点”为事件C；“恰好出现两个5点”为事件D；“恰好出现两个6点”为事件E.

则

但若能从反面入手，考虑到“至少出现一个5点或6点”的反面是“两个骰子既不出现5点也不出现6点”，那么所求的概率 ，选D.

在此类问题中如果善于运用正难则反的思想，利用对立事件的概率公式： ，可以使问题的解决做到事半功倍，而且减少了计算环节，也能减少由计算带来的不必要错误.

正难则反，说起来容易，做起来却难，需要我们在解题的过程中多观察，多总结，多联想。正难则反的这种逆向思维方式具有发散性、变通性，是突破传统框架产生新思路的源泉.对有些数学问题如果从正面入手求解繁琐、难度较大，不妨就打破思维常规实行“正难则反”策略，转化为考虑问题的相反方面，往往能绝处逢生、开拓解题思路、简化运算过程。

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