双曲流上成对周期轨道的分布

刘萌

摘 要：研究黎曼曲面上的雙曲流上周期轨道的分布是一个经典的问题，闭测地线的分布及渐进逼近是其中一个特例。双曲流上成对周期轨道的分布已经成为一个重要的研究方向。本文主要解决了负的截面曲率流形上的成对周期轨道计数问题。研究了成对周期轨道的长度差固定在区间[z-a，z+a]上，其字长小于定值的黎曼曲面双曲流上周期轨道的分布情况。

关键词：双曲流；Fourier反变换；符号动力学；强l-可比较函数

1 引言

动力系统与遍历理论是20世纪数学史上最具影响力的分支之一。动力系统的研究可追溯到历史上著名的“三体问题”的研究， 1969年，Marguls[10]发表论文研究Anosov流的周期轨道长度小于T的数量估计的公式，

。其中h>0，h表示相应测地流的拓扑熵。

关于双曲流上成对周期轨道的研究，是目前主要研究方向之一。2010年，Richard Sharp[8]发表论文研究有固定同调类差异的一对周期轨道计数问题

可以转化为 来求解。研究黎曼曲面上的双曲流上周期轨道的分布是一个经典的问题，成对周期轨道的分布已经成为一个重要的研究方向。本文主要解决了黎曼曲面上的双曲流上成对周期轨道的分布问题。主要通过符号动力学来研究双曲流上封闭轨道的渐进公式。

2 问题的提出

V是光滑的Riemannian流形，其截面曲率为负值，l（γ）表示双曲流上周期轨道的长度。字符长|.|与Riemannian度量下的l（.）类似，即 ，有c1 l（γ）≤|γ|≤c2 l（γ），其中γ表示双曲流上的周期轨道。函数ω：p→R，其中p是V上周期轨道的集合， ， ， 使 c1l（γ）≤ω（γ）≤c2l（γ） ，称ω是l-可比较函数。函数ω：p→R ， ， ，使得

以指数的形式趋于0，则称ω是强l-可

比较函数。

V是光滑的Riemannian流形，给出一个序列∈n>0，z∈R， a>0，I（z）=[z-a，z+a]，其中l（γ）表示周期轨道的长度， 函数ω：p→R，

定理 双曲流ψt：M→M，其中M=SV是紧的负的截面曲率V上的单位切丛，V是1/4-pinch流形，存在一个强l-可比较函数ω：P→Z，则

3 双曲流与符号动力学

令X是紧致的Hausdorff空间，G是拓扑群，连续映射ψ：G×X→X，满足： ，使得ψ（e，x）=x，e为G的单位元； ，

，使得ψ（g1，ψ（g2 ））=ψ（g1 g2x ）成立。则称（X，G，ψ）是拓扑动力系统。若G=R是一个加群，则称（X，G）为流。

令（X，G）是动力系统， 。若ψx=x，称x是其不动点。 ，使ψnx=x，则称x是周期点，ψnx=x成立的最小整数n，称其周期为n。下面我们定义双曲流：M是紧的，光滑，Remannian流形，C1流ψt：M→M，则称ψt是双曲流。

引理1[2] ω：p→Z是强l-可比较函数。

证明：显然函数ω（γ）≥0，有下界，则ω是强l-可比较函数成立.若ω（γ）=n，l（γ）=rn （x），则，

算子σ：∑→∑，给定连续函数G：Σ→R，定义压力P（G）=sup{h（m）+∫Gdm ： m∈σ -不变概率测度}，其中Σ=Σ×Σ， σ=σ×σ。若G是H■lder连续函数，则上确界就是G的平衡态。函数s→P（sR），s∈R是实解析函数，s=0有

；

引理2 若|t|充分小，使得P（itR），P（itr），P（-itr）确定，P（itR）是实值函数， ， 使，

证明： 由变分原理知

因为 ， 实值函数，则P（itR）也是实值函数

引理3 ，使得函数 ，对于t∈（-∈，

∈），函数g有Taylor展开式： ，

并且在（-∈，∈）存在一个平滑变化的坐标v=v（t），使得eP（itR） =λ2 （1-v2 ）成立。

证明：首先根据式子（1）和式子（2）知函数g：t→eP（itR）在[5]有如下性质： ， 。对于式子eP（itR）=λ2（1-v2）可以根据Morse引理来给出合适的坐标变换结果见[6]。

4 定理的证明

可积函数φ：R→C，其傅里叶变换 是紧支撑

。不妨设，使得 的支撑集 [-M

， M]。定义两个函数： ；

由傅里叶反变换公式，

由引理1，引理2，引理3知

其中函数G（μ）是光滑的，且G（0）=0

性质1[6]

其中 。综上所述：

。给定一个连续、非负、紧支撑函数φ：R→R，定义：

。 WN 函数估计为：

其中：

因为

显然下式成立：

令 ，则

当令α→1时，由不等式（3）和（4），则

，N→∞

又因为

因此，

性质

最后，为了证明定理，要用定义在区间[-1，1]的指示函数φ[-1，1] ，取代光滑的支撑函数φ。给定∈>0，则存在紧的、光滑、支撑函数φ[-1，1]，满足φ-≤φ[-1，1]≤φ+，使得

则我们可以推断出：

5 总结与拓展

遍历理论和拓扑动力系统是上世纪以来的最具影响力的数学研究之一，黎曼曲面上双曲流的封闭轨道的分布是经典的问题，本文讨论的是负截取率上的双曲流的性质。

本文只是研究了负截取率上的双曲流上的特定区间的性质，这方面的研究还远远不够。譬如我们是否可以增加限制条件，得到在其限制条件下双曲流的封闭轨道的分布。我们可以考虑双曲流上同调类下成对周期轨道的分布问题，这都是后续可以研究解决的问题。

参考文献：

[1]Risager，Morten S，Sharp，Richard. Pairs of periodic orbits with fixed homology difference[J].Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society，2010，53（3）：799-808.

[2]Pollicott M，Sharp R.Correlations of Length Spectra for Negatively Curved Manifolds[J].Communications in Mathematical Physics，2013，319（2）：515-533.

[3]Kenison G，Sharp R.Orbit counting in conjugacy classes for free groups acting on trees[J]. Mathematics，2015.

[4]Margulis G A. On Some Aspects of the Theory of Anosov Systems[M]. Springer， 2004.

[5]D.Ruelle，Thermodynamic formalism[M].Addison-Wesley，1978.

[6]Katsuda A， Sunada T. Closed orbits in homology classes[J]. Publications Mathématiques De Linstitut Des Hautes tudes Scientifiques，1990，71（1）：5-32.

[7]Pollicott M，Sharp R.Periodic orbits and holonomy for hyperbolic flows[J].Contemporary Mathematics，2009.