《悉尼协议》框架下基于应用和创新的高等数学案例教学

高瑾，张平安，林园

（1.深圳信息职业技术学院计算机学院；2.深圳信息职业技术学院公共课教学部，广东 深圳 518172）

作为当前国际上关于工程技术教育认证的“三大”互认协议之一，《悉尼协议》主要针对接受三年制高等教育培养的“工程技术专家”认证，即与我国的高职职业教育相对应和衔接。《悉尼协议》有一套完整严格的认证标准，包括培养目标、学生、毕业要求、课程体系、师资队伍、持续改进、毕业生跟踪反馈及社会评价等。虽然目前我国还未加入该协议，但是全面加入国际工程教育认证、走国际化道路，是高职教育的发展趋势和必经之路。所以，《悉尼协议》对于我国的高等职业教育具有非常重要的参考意义和借鉴价值[1][2]。

高等数学是高职院校的基础类课程，不仅为后续专业课的学习奠定基础，而且可以培养学生的逻辑思维和推理能力，作为专业的支撑，为学生今后的发展起着重要作用。《悉尼协议》中要求学生具有“适用于本专业所属子学科的、用于支撑分析和建模的、以概念为基础的数学、数值分析、统计学及计算机与信息科学的通识内容”，另外要求课程体系必须“包含与本专业培养目标相适应的数学与自然科学类课程”[2]。但是数学类课程难度相对较大，公式理论比较枯燥，对于高职院校的同学来说，数学基础决定着他们的接受度和积极性都不是很高。另外，高职院校普遍开设数学课的范围较小，以我校2017级新生为例，仅有12个专业共计22个班次开设了数学课。这些现状直接影响着数学类课程的学习效果和普及范围，与《悉尼协议》的要求也有着一定差距。

面对上述问题，为更好适应不断发展的教育理念和高职教育“走出去”、“国际化”的要求，我们必须打破传统思维，对高等数学课程进行改革。可以尝试通过案例教学，创新教学模式，使数学课更多地与应用相结合、与专业相结合、与生活相结合，利用新媒体条件，使学生从“学数学”到“做数学”再到“用数学”。从教学模式、教学内容、教学方法、教学手段甚至教学评价等方面，进行改革创新，并且逐步对数学课程开展的范围进行推广和普及。这样不仅可以激发学生对数学课程甚至专业课程的兴趣，较好完成数学课程的教学任务，而且可以紧跟我校教育理念，与高职教育培养目标和我校人才培养理念相一致，与《悉尼协议》要求相一致，培养出适应社会发展和国际接轨的应用型人才。

本文从教学内容和教学模式的改革出发，对基于应用和创新的高等数学案例教学做一些讨论，以下从应用、专业、生活方面举几个典型的案例：

1 案例与应用相结合

在高数课程中，导数是很重要的概念，是微分与积分的基础。导数的应用其中一项是求可导函数的极值和最大最小值。在讲述如何运用导数求极值和最大最小值时，我们往往会给出若干定理、定义和步骤，通常学生会云里雾里，做题的时候容易出错。但是在实际问题中，其实并没有那么复杂，因为如果我们明确知道此问题存在最大或最小值，并且在自变量的取值范围内只有唯一的驻点，就可以直接断定该点处的函数值即为所求[3]。所以，讲导数的应用时，可以多选取实际案例，让学生轻松接受。例如，我们可以举如下例子：

一个服装商家有一款爆款外套，每件的价格为100元，每天的销售量为100件，外套的成本为60元，现在商家想通过价格的增加来提高利润，经过测试，这件外套每增加1元，销量会下滑2%，那么商家究竟该怎样做呢？

此问题并没有明确说要求函数的最大最小值，这只是一个实际问题。这里就可以启发同学们，进行仔细分析。对于商家来说，要追求的肯定是利益最大化，外套如果价格增加，销量就会减少，如果价格减少，销量就会增加。那么是否存在一个合适的值，可以使商家的利润最大呢？于是，此问题就变成：外套的价格如何变化，可以使得商家的利润最大。要求出这个问题，我们首先要表示出利润函数。

我们建立模型如下：

其中x表示价格的变化，S表示利润，是关于x的函数； ,cm和p是参数，分别表示原始价格，原始销量和每件成本。将数值带入化简可得：

所以问题变成求一元函数 S (x)的最大值。至此，我们将一个实际问题变成了数学问题。利用微分法可以求得当 x = 5 时 S (x)取最大值4050。这是数学上的结果，将其带回到实际问题就能得出结论：将价格提高5元，可以得到最大利润4050元。

反观此问题，其实单独就最后的函数来讲，是非常简单的一元二次函数求极值问题，学生很容易接受，也能够自己动手计算，在此计算过程中，如何运用导数求函数极值就会被进一步熟悉记忆。另外，此问题的解决还教会学生，如何将实际问题转化为熟悉的数学问题，如何从实际出发，将所学的数学知识应用到实际中。通过这样的思考和讨论，不仅仅有助于提升学生的数学水平和认识，其应用能力也得到增强。

2 案例与专业相结合

在讲常微分方程时，很多时候我们注重的是求解，如何求一个常微分方程的通解、特解。学生往往面对着一个个方程纠结于计算的技巧，他们并不知道这个方程有何用，有何背景。其实，在工程技术和自然现象的研究中，很多问题最后的数学模型是微分方程，最终会归结为微分方程的求解。选取合适的案例来讲述常微分方程，不仅可以让学生了解其用途，更可以加深理解。微分方程案例教学主要思路为：分析实际问题，结合数学理论建立相应的微分方程和初始条件，求解方程（求出通解，根据初始条件确定特解）。例如对于环境工程专业学生，可以举以下例子[4]：

人们经常要研究一个种群数量的变化趋势，例如世界或者某国人口，一片森林里的树木，或者一片草原上的野兔等。我们首先可以考虑一种最简单的情况，就是增长率不变的指数增长模型。我们以野兔的繁殖生长为例：记野兔数量为 x (t)，是一个关于时间 t(t ≥ 0 )的函数，设初始时刻野兔数量为=表 r x示,x(单 0)位=x时间内 x (t)的增量。下面我们假0设野兔数量的增长率恒定，记为 r(r ＞ 0 )，关于t时刻的野兔数量 x (t)可以建立如下数学模型：

这是一个简单的一阶常微分方程，可求得：

上式表明，野兔的数量是呈指数增长，即指数增长模型。

这个常微分方程的求解很简单，但是重要的是如何将实际问题转化为数学问题，帮助学生建立此模型。进一步，可以启发学生思考，指数增长模型表明野兔数量将随着时间以指数规律无限制增长，但是实际上，随着野兔数量的增加，草原上的食物等资源和环境势必会对野兔的增长起到限制的作用，所以事实上，野兔的数量是不会无限增加的。那么上述的指数增长模型就有着局限性，会不会有更好的模型呢？可以简要介绍阻滞增长模型——logistic模型，建议有兴趣的同学进一步探索。

相信引入这样与专业相关的案例之后，会增加同学们学习的兴趣，使他们不仅可以掌握求解微分方程的技巧，更可以了解微分方程的作用及现实意义。

3 案例与生活相结合

概率与数理统计也是高等数学中比较重要的一个部分，其从数量化角度来研究不确定现象及其规律性，在科学研究、工农业生产以及经济管理、现代工程等各个领域都有着重要和广泛的应用[3]。但是其具有的抽象理论却比较难引起学生的兴趣。那么在讲课过程中，我们不妨多引入一些具有现实意义或是学生身边的例子，引导学生进行分析研究，在探索的过程中感受数学的魅力和乐趣。例如可以举如下例子：

一个班级共有40名同学，那么会有两名同学生日相同吗？至少有两名同学生日相同的概率有多大呢？如果一个班级是50名同学呢？

对于这个问题，可以先让同学们进行直观感受，一般大家都会认为生日相同的可能性较小。然后让同学们在纸上写下自己的生日，看看有没有相同。当同学们在讨论各自生日的时候，可以引导他们思考这个问题：求至少有两名同学生日相同的概率比较困难，我们可以考虑其反面：40名同学生日各不相同，记为事件A。假设每名同学生日都是等可能性的，则他们生日各不相同的概率为：

上式可利用Matlab计算出结果，P(A)=0.1088，则1- P(A)=0.8912，即40名同学的班级中至少两名同学生日相同的概率为89.12%。类似，如果是50名同学，我们可以计算得到至少两名同学生日相同的概率为97.04%。

这样的结论和同学们的直接猜想差距非常大，结论接近于1，也就是说，对于任意一个50名同学的班级，几乎总会有至少两名同学生日相同。

通过生活中类似的例子，学生会觉得跟自己的直觉反差很大，新鲜有趣，从而在积极讨论的过程中，学习到概率统计的相关知识和计算。

数学作为一种形式科学，其高度的抽象性使得大部分人难以理解其中的现实意义。尤其是高职学生，其对数学的认识仅停留在“计算，求解”这个层次。然而，大到自然世界，小到生活细节，都或多或少受到数学规律的影响。如果学生在学习数学时不能把所学的知识与现实问题联系在一起，那么这种教学效果就不能满足《悉尼协议》的要求。而在教学中引入与应用、专业及实际生活相关的案例，相对于枯燥的理论和计算，更能够激发学生学习的兴趣。当然，高等数学的课程改革和课程建设，并不仅靠一些案例就可以解决。整个数学课程的教学模式、内容、方法、手段和评价，都需要我们认真去思考和改革；数学课程的开设专业和范围，也需要逐步推广和普及。这样才能更好地发挥数学课程的作用，更加贴近《悉尼协议》中课程体系的标准，更加与学校培养目标相一致，为培养应用型国际化高职技术人才服务。

参考文献：

[1]刘文华, 徐国庆.《悉尼协议》框架下高等职业教育发展策略探析-论我国职业教育的国际化[J].上海教育评估研究, 2016,(01) :16-19.

[2]王伯庆.参照《悉尼协议》开展高职专业建设[J].江苏教育,2014, 28(7):16-19.

[3]方晓华.高等数学[M].北京:机械工业出版社, 2014.

[4]姜启源, 谢金星, 叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社, 2011.