例析函数f(x)=lnx/x的应用

林桂标

(广西钦州市第二中学 535099)

想要开展对函数f(x)=lnx/x的应用教学，首先需要让学生们了解该函数的基本性质，摸清它的单调性、图象、极值和图象等.在介绍其单调性时，必定会涉及到函数求导，在求导过程中又需要先确定函数定义域.求导后又可以确定函数的最值与极值.有了上述研究基础，本文再进一步结合实例，对该函数在不同知识点考察中的应用展开讨论.

一、函数f(x)=lnx/x的基本性质

由两个基本初等函数的定义域，确定函数f(x)=lnx/x的定义域为(0,+).对该函数进行求导，得到如下关系式求解f′(x)>0，解得0e.综上可知，f(x)在(0,e)上是增函数，在(e,+)是减函数，当x=e时取得极大值也是最大值，并将该函数图象绘制如右图.

二、函数f(x)=lnx/x的应用

应用1：比较ab与ba的大小(a>0,b>0)

应用1是对函数f(x)=lnx/x单调性的考察，只需要对函数形式进行简单变换即可实现.

当a、b∈(e,+)，且aba.

例1 (2014年高考湖北卷第22题)π为圆周率，e是自然对数的底数，e=2.71828….(1)求函数f(x)=lnx/x的单调区间；(2)(文)求e3、3e、eπ、πe、π3和3π这六个数中的最大数与最小数.

解析(1)根据上文对函数f(x)=lnx/x的基本性质的介绍，即可确定该函数的单调区间；(2)已知函数y=ex、y=3x、y=πx都是单调增函数，可得e3

应用2：函数零点判断

例2 (2013年江苏高考第20题)已知函数f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a为实数.若函数g(x)在定义域(-1,+)单调增，求函数f(x)的零点个数.

解析函数g(x)在定义域(-1,+)单调增，则有g′(x)=ex-a≥0在定义域内恒成立，则a≤(ex)min，即是由函数零点性质可知，函数f(x)的零点个数即是方程的根的个数，也就是函数y=a与函数f(x)=lnx/x的图象交点个数.至此，本题由函数零点问题转化成了两个函数图象交点问题.结合函数f(x)=lnx/x的图象，可知：当或者a≤0时，函数f(x)有一个零点；当时，函数f(x)有两个零点.

总之，函数f(x)=lnx/x在高中数学教学中有着广泛的应用.看似关系不大的数列、函数零点和比较大小问题，通过构造出来的辅助函数，都与函数f(x)=lnx/x有着千丝万缕的联系.尤其是在高中总复习阶段，类似的点拨式教学，将各类知识点通过某一函数相联系，实现数学教学的举一反三、触类旁通，有效提高教学效率.

参考文献：

[1]陆永.函数f(x)=lnx/x特殊性质的研究及应用[J].高中数理化，2017(07).

[2]沈宇斌，李卓，姚凯，刘辉，甘大旺.如何探求函数f(x)=x～x的单调性与最小值[J].高中数理化，2014.