中考等腰三角形新题展示

2018-05-09黄世平陈德前

数理化解题研究 2018年2期

关键词：中考题等腰三角纸片

黄世平陈德前

1.江苏省兴化市昭阳湖初级中学 225500;2.江苏省兴化市教育局教研室 225700)

等腰三角形的知识是初中数学的核心知识，也是中考命题中设计新题型的典型素材.

先以2016年中考试题为例，向同学们展示几种新题型，供你学习时参考.

一、折叠型

例1 ( 2016年甘肃省武威、白银、定西、平凉、酒泉、临夏、张掖等9市州中考题)将一张矩形纸片折叠成如图1所示的图形，若AB=6 cm，则AC=____cm．

分析画出折叠之前的矩形纸片，就可以通过平行线进行角度之间代换，得到△ABC是等腰三角形来求解．

图1

解如图1，由折叠得∠1=∠2，再由矩形纸片对边平行得到∠1=∠3，从而得到∠2=∠3，所以△ABC是等腰三角形且AC=AB=6 cm，所以得出答案为6.

点评折叠也就是翻折或轴对称，它不改变图形的形状和大小，所以看到折叠就要想到全等，进一步得到对应角相等、对应边相等，为进一步解题提供条件．

二、网格型

例2 (2016年四川省资阳市中考题改编)如图2，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形有____个．

分析先从C、D、E、F四个点中任取一点，与点A、B连接组成三角形，一共有4种可能，再判定其中哪些是等腰三角形，即可得出答案．

解从C、D、E、F四个点中任取一点，与点A、B连接组成三角形，一共有4种可能，其中选取点D、C、F时，与点A、B构成的三角形是等腰三角形，所以所作三角形为等腰三角形有3个.

点评解决这类问题，要先操作，再判定.由于问题是在网格中设计的，因此在判定等腰三角形时，要充分利用网格的优势.

三、剪纸型

例3 (2016年江苏省扬州市中考题)如图3，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( ).

A．6 B．3 C．2.5 D．2

四、拓展型

例4 (2016年湖南省邵阳市中考题)如图4所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD=BD，则下列结论正确的是( ).

A．AC>BCB．AC=BC

C．∠A>∠ABCD．∠A=∠ABC

解∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC>∠A，所以C选项和D选项错误；∵∠ABC>∠A，∴AC>BC，所以A选项正确.B选项错误．故选A．

点评根据应用等腰三角形的有关知识，可以得到结论：在同一个三角形中，大角对大边，大边对大角.在上述解答中，除了运用“等边对等角”外，还运用了“大角对大边”．

五、规律型

例5 (2016年河北省中考题)如图5，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边.若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°.当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=____°.…若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=____°.

分析对于第一个问题，先在Rt△A1A2O中根据三角形内角和定理求出∠2的度数，由此得到∠1和∠AA1A2的度数，再在△AA1A2中根据三角形内角和定理求出∠A的度数；对于第二个问题，由前面可知，当光线垂直于OA时光线会沿原路返回，画出符合题意的图形，分别求出有公共顶点的光线夹角的度数，从而找出夹角变化的规律，问题可解.

解