一道习题引发的教学思考

李永树

(重庆市中山外国语学校 404500))

(原题呈现)已知：如图1，∠AOB=70°，∠BOC=30°，求∠AOC的度数.

解析∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+30°=100°.

一、注重变式，融合核心知识

变式1 已知：如图2，∠AOB=70°，∠BOC=30°，OE，OF分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠EOF的度数是多少.

解析∵OE是∠AOB的平分线,

又∵OF是∠BOC的平分线,

∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=35°+15°=50°.

变式2 已知：如图3，∠AOB=70°，∠BOC=30°，OE，OF分别为∠AOC、∠BOC的角平分线，求∠EOF的度数是多少.

又∵OF是∠BOC的平分线,

∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=50°-15°=35°.

二、注重变式，渗透数学思想

1.整体思想

变式3 已知：如图4，∠AOC=100°，OE，OF分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠EOF的度数.

变式4 已知：如图5，∠EOF=50°，OE，OF分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠AOC的度数.

解析∵OE是∠AOB的平分线,∴∠AOB=2∠BOE.又∵OF是∠BOC的平分线,∴∠BOC=2∠BOF.∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOE+2∠BOF=2(∠BOE+∠BOF)=2∠EOF=2×50°=100°.

2.分类讨论思想

变式5 已知：∠AOB=70°，∠BOC=30°，求∠AOC的度数.

解析此题无图，分情况讨论：

情况一：OC在OB的下方时，如图6.

∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+30°=100°.

情况二：OC在OB的上方时，如图7.

∠AOC=∠AOB-∠BOC=70°-30°=40°.

综上所述，∠AOC的度数是100° 或40°.

变式6 已知：∠AOB=70°，∠BOC=30°，OE，OF分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠EOF的度数.

解析此题无图，分情况讨论：

情况一：OC在OB的下方时，如图8.

∵OE是∠AOB的平分线,

又∵OF是∠BOC的平分线,

∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=35°+15°=50°.

情况二：OC在OB的上方时，如图9.

∵OE是∠AOB的平分线,

又∵OF是∠BOC的平分线,

∴∠EOF=∠EOB-∠FOB=35°-15°=20°.

综上所述，∠EOF的度数是50° 或20°.

3.参数思想

变式7 已知：如图10，∠AOB=70°，∠COD=30°，OE，OF分别为∠AOC、∠BOD的角平分线，∠COD绕点O顺时针旋转x°(0

解析∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+x,

∠BOD=∠BOC+∠COD=30°+x,

又∵OE，OF分别为∠AOC、∠BOD的角平分线,

4.方程思想

变式8 已知：如图11，∠AOB=70°，∠COD=30°，OE，OF分别为∠AOC、∠BOD的角平分线，∠COD绕点O顺时针旋转x°(0

解析∵∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=70°+x+30°=100°+x,

又∵OE，OF分别为∠AOC、∠BOD的角平分线,

∵∠AOD+∠EOF=6∠COD,

∴(100°+x)+50°=6×30°，解得：x=30°.

三、注重变式，强化灵活运用

变式9 已知：如图8，∠EOF=50°，∠BOC=30°，OE，OF分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠AOB的度数.

∵OE是∠AOB的平分线,∴∠AOB=2∠BOE.

又∵OF是∠BOC的平分线,

∴∠BOE=∠EOF-∠BOF=50°-15°=35°,

∴∠AOB=2∠BOE=2×35°=70°.

四、注重变式，探究一般规律

变式10 已知：如图12，∠AOB=70°，∠BOC=x，OE，OF分别为∠AOC、∠BOC的角平分线，求∠EOF的度数.并说明∠EOF的大小与∠AOB和∠BOC的关系.

解析∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+x,

∵OE是∠AOC的平分线,

规律：∠EOF的大小总等于∠AOB的一半，与∠BOC的大小无关.

五、注重变式，创新设计编题

变式11 线段的计算与角的计算存在密切联系，计算方法可以借鉴.请根据变式10设计一道以线段为背景的计算题，写出解答过程并总结出一般规律.

试题：如图13，已知线段AC，B为AC上一点，AB=m，M、N分别为AC、BC的中点，求MN的长.

解析设BC=x，AC=AB+BC=m+x.

∵M、N分别为AC、BC的中点，

规律：线段MN的大小总等于线段AB的一半，与线段BC的大小无关.

总之,在教学中教师要注重知识的系统整理，注重试题的多变，充分挖掘试题之间的内在联系，形成知识链、题型组，强化学生对数学思想和方法的理解与运用，从而更好地培养学生分析问题、解决问题的能力和学习数学的浓厚兴趣.

参考文献：

[1]蒋世香. 培养学生数学素养的意义及措施[J]. 科学咨询(科技·管理),2017(04).