三道三角函数中考题之我解

李玉荣

(南京金陵中学河西分校 210019)

以圆为背景的三角函数题是中考的热点题型之一，这类题融合了几何证明与代数计算，具有一定的难度．恰当的辅助线是解题的突破口，解题方法的不同，决定了解题 “长度”的不同．

题1 (2010·山东泰安)如图1，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值．

标准答案：

(1)证明：连结OD.

∵AB=AC，∴∠ACB=∠B.

∵OD=OC， ∠ACB=∠ODC，

∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB.

∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线.

(2)由(1)知OD∥AE，∴△FOD∽△FAE，

简洁解法如图2，连接OD，作OG⊥AB于点G，

则四边形OGED为矩形，∴GE=OD=2.

∴AG=AB-GE-BE=1，

评注标准答案是将∠A置于Rt△AEF中，需要求出AF，这需要通过相似三角形列比例解方程得到；而后一种解法巧妙地添加辅助线，将∠A置于Rt△AGO中，直接求得结果，解法更为简洁．

题2 (2014·湖北鄂州)如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．

(1)求证：CD为⊙O的切线；

标准答案

(1)证明：如图3，连接OC.

∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB.

∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.

∵OC为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线.

(2)解：如图4，连接BC.

∵AB为直径，∴∠ACB=90°.

∵CD⊥AD，∴∠D=90°，∴∠ACB=∠D.

∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB，

简洁解法如图5，连接OC，作OH⊥AD于点H，

评注标准答案是将∠DAB置于Rt△AED中，需要求出AE，为此，需要两次利用相似三角形求解；而后一种解法巧妙地添加辅助线，将∠A置于Rt△AHO中，利用勾股定理求出半径进而得到结果，解法更为简洁．

题3 (2014·湖北武汉)如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是( ).

标准答案如图6，连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．

∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，

∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB.

在Rt△FBP中，∵PF2-PB2=BF2,

简洁解法如图7，过点O作OG∥PA交PB于点G，过点G作GH⊥PA于点H，

则四边形PAGH为矩形，GH=AO=r.

在Rt△OGB中，根据勾股定理得GB2+OB2=OG2，

评注此题必须添加辅助线，标准答案是将∠APB置于Rt△FBP中，需要求出BF，这需要通过相似三角形列比例找出AF与BF的关系，再利用勾股定理列方程求解；而后一种解法巧妙地添加辅助线，将∠APB置于Rt△GHP中，仅仅利用勾股定理就求得结果，解法更为简洁．

从题1、题2的解题过程看，连接半径后得到直角梯形，作高求解就十分自然、顺畅，而题3连接半径后得到有一对角为直角的四边形，过一个顶点作一边的平行线就转化为直角梯形，进而可作高求解．可见，掌握基本图形及其转化方法，即把隐形的解题经验显性化、算法化，对有效、简洁解题十分有帮助．

参考文献：

[1]张进，熊长菊.基于建模思想探究一题多解[J].中学数学(初中版)，2016(8)96-98．

[2]孙海峰。微专题“圆”中常见定理及常见辅助线[J].中学数学(初中版)，2016(8)68-69．

[3]陈奕，苏洪雨.一道平面几何题的说题设计的探究[J].中学数学(初中版)，2016(8)93-95．