多角度探究数列通项公式

祝一丹

(河北省衡水第一中学 053000)

通项公式是数列的重要内容，也是高考的必考知识点，既考查运算求解能力，又考查分析问题和解决问题的能力.下面通过数列典型问题加以说明.

题目在数列{an}与{bn}中，a1=1,b1=4,数列{an}的前n项和{Sn}满足nSn+1-(n+3)Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*.(1)求a2,b2的值；(2)求数列{an}与{bn}的通项公式.

探究一：抓特征，利用数学归纳法求an与bn

注意到待求问题是一个与正整数n有关的命题，故可以尝试用数学归纳法证明.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途.不但能用数学归纳法去证明现成的结论，而且也注重不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察——归纳——猜想——证明”这一特殊到一般的推理方法的思维模式，显得特别重要.突破难点的关键是掌握由k到k+1的推证方法，证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论.

由题设kSk+1=(k+3)Sk,(k-1)Sk=(k+2)Sk-1,两式相减整理得kak+1=(k+2)ak，

再用数学归纳法证明bn=(n+1)2，n∈N*.

①当n=1时，b1=4=(1+1)2，等式成立.

根据①②可知等式bn=(n+1)2对任何的n∈N*成立.

探究二：构造对称式，累乘法求an，迭代法求bn

构造对称式是学习数列过程中非常常见的一种方法，其应用广泛，对能力要求较高.因此，平时的学习中要有意识地积累相关方法，形成解题经验.看到此题设，首先观察条件等式的特点：含有同一个数列的不同的两项，而且是与和Sn有关的，如何消去Sn得到an的关系式呢？于是考虑通过赋值构造对称式，进行减法运算，走“累乘法”之路求得an；如果注意到bn的恒等式中也含有不同的两项，依葫芦画瓢，通过赋值构造对称式，进行除法运算，走“迭代法”之路可顺利求得bn.通常情况下，如果一个等式中含有同一个数列的不同的两项时，可以采用构造对称式的方法实施转化，往往会收到意想不到的效果.

由题设nSn+1=(n+3)Sn,(n-1)Sn=(n+2)Sn-1,两式相减整理得nan+1=(n+2)an,n≥2，

探究三：巧变形，作差法求an，换元法求bn

总的来看，求数列的通项公式题难度并不大，但内涵却特别丰富.在遇到一个具体的数列问题时，到底应采用哪种解题策略更有效，还应依据题目的特点，凭借平时的积累，具体问题进行具体分析.

参考文献：

[1]叶正波.探究递推数列通项公式求法的实质[J].中学数学研究, 2012(13).