坐标系与参数方程的命题特点及解法探略

张 兴 李雪琴

(宁夏回族自治区固原市第二中学 756000)

坐标法思想是近代数学发展的开端，坐标系是用代数方法处理几何问题的基本工具.参数方程是以参变量为中介表示曲线方程的又一种形式，更解决曲线方程的一种思路和方式，所以坐标系与参数方程的学习，是提高学生解决数学问题能力，提升学生综合数学素养的重要途径之一，因此成为高考数学的必考内容之一，下面就其高考的试题的命题特点及其解答方法进行探究.

一、高考试题的命题特点

从2007年到2016年新课标高考共15套数学试题，其中关于极坐标与参数方程的有15道考题.它们的相同之处都涉及坐标变换，即直角坐标系方程、极坐标方程、参数方程的互相转化.它们的不同之处，按已知曲线化分：第一类，直线和圆位置关系的有2016(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)、2015(Ⅰ)(Ⅱ)、2013(Ⅰ)(Ⅱ)、2011、2010、2008共10道.其中包括直线和圆相离时的点线距离问题，直线和圆相交时的弦长问题，直线和圆相切时的切点问题.第二类，直线与椭圆2012、2014(Ⅰ)共2道.第三类，园及椭圆位置关系如2007、2009、2014(Ⅱ)共3道.从统计数字上看以直线和圆位置关系为主.按所求问题划分：第一类，有关交点坐标、线段长度和图形面积，如2007、2008、2012、2013(Ⅰ)、2014(Ⅱ)共5道.第二类，有关距离、范围或最值问题，如2009、2011、2012、2014(Ⅱ)、2015(Ⅱ)、 2016(Ⅰ)、2016(Ⅰ)、2016(Ⅲ)共8道.第三类，有关点的轨迹、曲线方程，如2010、2013(Ⅱ)共2道.从统计数字上看以有关距离、范围或最值计算问题为主.

二、高考试题的题型解析

高考试题按解答方法划分：第一类，极坐标中的运算.第二类，参数方程中任意点或动点问题.第三类，直线与圆锥曲线相交问题.第四类，点的坐标、线段长度、图形面积、轨迹方程等的计算.

1.极坐标中的运算

解析(1)把变换公式x=ρcosθ,y=ρsinθ，代入C1、C2的已知方程，得C1：ρcosθ=-2，C2：ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.

∴C1为以(0，1)为圆心，a为半径的圆.化简即为x2+y2-2y+1-a2=0.

把x2+y2=ρ2,y=ρsinθ代入上式，得C1的极坐标方程ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.

(2)C2:ρ=4cosθ两边同乘ρ，得ρ2=4ρcosθ.∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x,∴x2+y2=4x.配方即得(x-2)2+y2=4 ②，C3:化为普通方程为y=2x.

由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3

①-②得：4x-2y+1-a2=0,即为C3，∴1-a2=0,∴a=1.

二、任意点或动点用参数方程

其中C1为圆心是(-4,3)，半径是1的圆.

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

评析上面例3的第一问为参数方程化为普通方程.解答这类题需注意：

(1)要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定x和y的取值范围.

(2)消去参数通常有代入消元法、加减消元法、平方消元法、乘除消元法和三角消元法等.第二问为求最值或取值范围.解答这类题需要把曲线方程化为参数形式，以参数方程形式表示点的坐标，既可以减少约束条件而简化运算，又能利用特殊的三角变换进行计算.

三、直线与圆锥曲线相交问题

解析(1)化简、整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0.

解析(1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ. ①

将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入①,

即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.

②

则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|=|t1t2|=18.

评析上面例4、例5均为直线与圆锥曲线相交.第二问的解答均为直线参数方程代入圆锥曲线方程中，转化为关于参数的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义使得问题得到解答.解答这类问题需要注意：(1)过P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线参数方程为x=x0+tcosα,

四、求点坐标、线段长度、图形面积、轨迹方程等的计算

(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.A点坐标为(sin2α-cosαsinα)，

评析上面例6为求点的坐标和轨迹方程.2015年理Ⅰ卷23题为求面积.这类题问题虽然差别很大，但其解答的基本方法依然是几种坐标的互化，再结合图形进行计算.

综上所述，坐标系与参数方程的命题，以直线与圆的位置关系为主，突出极坐标方程、直角坐标非常和参数方程的转化，呈现为四大趋势，即极坐标中的运算，参数方程中任意点或动点问题，直线与圆锥曲线相交问题，交点坐标、线段长度、图形面积、轨迹方程等基本数学问题.通过解题活动理解坐标系的作用，掌握几种坐标方程的转化，提高数学应用意识和解决问题的能力.体现数学的科学价值、应用价值和文化价值，更重要的是提升学生的综合数学素养.

参考文献：

[1]王新宏.高考坐标系与参数方程难点透析[J].数理化解题研究，2016(11)：2-3.

[2]刘绍学等，普通高中课程标准实验教科书·数学选修4-4[M].北京：人民教育出版社，2007(02).