考虑谐波互作用的行波管欧拉非线性理论模型∗

邱海舰胡玉禄胡权朱小芳李斌

(电子科技大学,微波电真空器件国家级重点实验室,成都 610054)

(2018年1月3日收到;2018年1月18日收到修改稿)

1 引 言

行波管(traveling wave tube,TWT)是使用最广泛的真空电子器件之一,广泛应用于卫星通讯、雷达和电子对抗等领域.其中空间行波管以其大功率、高效率、高可靠、长寿命以及抗辐射特性广泛应用于卫星和航天器的转发器、数据传输系统、卫星导航定位系统[1−6].随着用户对卫星高速数据传输需求的日益加剧,对空间行波管功率、效率和线性度提出了越来越高的要求.然而空间行波管的非线性注波互作用将导致谐波的产生,从而降低空间行波管的输出功率.同时产生的谐波将与基波相互耦合,产生互调产物,进而增加系统的误码率[7].因此,亟需对空间行波管的考虑谐波互作用机理进行研究.对谐波互作用机理的研究首先需要建立考虑谐波互作用的非线性理论模型.

行波管考虑谐波互作用的非线性理论可分为基于欧拉体系的理论模型和基于拉格朗日体系的理论模型.一些早期的文献主要采用基于拉格朗日体系的非线性理论来研究谐波.白安永等[8]、莫元龙和谢仲怜[9]以及Dionne[10]建立了考虑谐波的一维和二维的拉格朗日理论模型.Dionne[10]从仿真中发现谐波的产生与线路色散、谐波耦合阻抗以及增益的大小密切相关.基于拉格朗日体系的理论模型[11−18]往往需要借助于数值计算来实现求解,因而无法对谐波失真机理进行直接分析,而基于欧拉体系的理论模型具有形式简单、易于解析求解的特点,更适于对行波管谐波失真机理进行深入地解析研究[19].因此,近年来许多学者采用基于欧拉体系的线性和非线性理论模型对行波管互作用机理进行研究.关于基于欧拉体系的注波互作用理论,Datta等[20−23]推导得到二阶逼近谐波解析解,并采用信号注入技术对谐波进行抑制研究.Wöhlbier等[24−27]利用欧拉非线性MUSE模型对相位失真和谐波注入机理进行了理论分析.胡玉禄等[28,29]建立了基于相位展开的欧拉非线性理论模型,但该模型只能计算基波.最近,Dong等[30]将速调管中计算谐波的方法沿用到行波管,对C波段行波管电子群聚谐波分量进行理论分析,建立考虑谐波互作用的欧拉小信号解析理论,仿真结果表明各次电流谐波在小信号区的计算结果与拉格朗日理论十分符合.然而,以上欧拉线性模型和欧拉非线性模型均无法对非线性互作用区的谐波进行描述,因此亟需建立一个能够有效描述非线性区谐波互作用的欧拉非线性理论模型.

本文在拉格朗日体系考虑谐波互作用理论模型[16]的基础上,将离散的粒子近似处理为流体,得到电子相位的连续分布函数.然后对电子相位的连续分布函数进行傅里叶一阶展开,结合贝塞尔母函数关系式,最终建立了考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型.为验证考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型的正确性,以一支L波段空间行波管和一支C波段空间行波管[31]为例进行大信号分析,将考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型与拉格朗日理论模型进行对比.仿真结果表明:在增益1 dB压缩点之前,考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型与拉格朗日理论模型十分符合.考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型能对增益1 dB压缩点之前的谐波进行有效的模拟和分析.仿真结果验证了考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型的正确性和有效性.

2 理论模型

2.1 考虑谐波互作用的拉格朗日理论模型

在考虑谐波互作用拉格朗日理论模型[16]中,相位方程可表示为

式中ω0为基波的角频率;v0为电子的初速度;vzk为第k个电子在轴向位置z处的速度;ψk(z)为电子相位.

考虑谐波互作用的运动方程可表示为

式中n为谐波的次数;γk(z)是第k个电子在z处的相对论因子;Re为取实部运算符;an(z)为归一化谐波场幅值;c0为光速;θ=nω0z(1/Vpcc0−1/v0)为场与电子的相位差,为空间电荷参量,其中kz为冷腔传播常数,Kc为线路的耦合阻抗,I为电子注电流,b为电子注半径,Vpc为归一化相速,R′为等离子体频率降低因子,为常量,m0和q0分别为电子的质量和电荷.

通过联立一阶相位方程(1)式与一阶运动方程(2)式,消去相对论因子γk(z),简化后得到二阶运动方程:

考虑谐波互作用拉格朗日理论的场方程为

2.2 考虑谐波互作用欧拉非线性理论模型的推导

为了建立考虑谐波互作用欧拉非线性理论模型,采用傅里叶分析方法对拉格朗日理论的电子相位进行展开,推导得到欧拉体系的考虑谐波互作用运动方程和场方程.最后给出考虑谐波互作用欧拉非线性理论的边界条件.

2.2.1 相位的一阶傅里叶展开

基于精确的拉格朗日驻波互作用理论,将离散的粒子近似处理为流体,得到其连续的电子相位分布函数ψk(z).然后对其连续的电子相位分布函数进行傅里叶展开,这里对ψk(z)取傅里叶一阶展开近似:

式中ϕ为电子相位的初始分布;A0(z)和A1(z)分别为电子相位ψk(z)的零阶和一阶空间谐波分量;上标∗表示变量的共轭.

将(5)式代入拉格朗日理论的运动方程(3)式,然后方程两端同时对ϕ积分可得

对(6)式进行简化,可得关于电子相位直流分量A0(z)的二阶微分方程:

再将(5)式代入拉格朗日理论的运动方程(3)中,两边同时乘以e−iϕ,然后方程两端同时对ϕ积分可得

对(8)式简化整理后,可得关于电子相位一阶分量A1(z)的二阶微分方程:

将(5)式代入拉格朗日理论中的场方程可得

此时方程组(7),(9)和(10)是欧拉体系的理论模型.下面将对方程组中的积分进行简化,从而建立考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型.

2.2.2 积分的求解

本节将对方程组(7),(9)和(10)中的积分进行解析推导.由于傅里叶一阶展开(5)式又可以表示为

式中ζ1为A1(z)的幅角.

(12)式的积分需要结合贝塞尔母函数关系式进行推导,通常贝塞尔母函数关系式可写为

其中Jm(x)为m阶贝塞尔函数.利用(13)式简化(12)式中的积分发现仅当m=−n时,积分不为零,于是

然后将(14)式代入(12)式,简化后可求出积分的解析表达式:

同理可得方程组中其他几个积分的解析表达式:

2.2.3 考虑谐波互作用的欧拉非线性方程组

将(15)—(18)式代入到方程组(7),(9)和(10)中,简化后可得考虑谐波互作用的运动方程:

考虑谐波互作用的场方程:

至此,便建立了考虑谐波互作用的欧拉非线性方程组(19)—(21)式.

2.2.4 边界条件

通常在互作用初始位置,电子注还未进行速度调制和密度调制.因此可设置初始位置处的电子相位直流分量和电子相位一阶分量以及其一阶导数为零.因此有

通常场的基波初始值为a0,场的谐波初始值为0,因此有

3 数值分析

本文基于精确的考虑谐波互作用的拉格朗日理论模型,对其电子相位进行傅里叶一阶展开,建立了考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型.为验证该考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型的正确性,将其与精确的考虑谐波互作用的拉格朗日理论模型[11,12]进行对比.

3.1 模拟结构

以一支L波段螺旋线空间行波管和一支C波段螺旋线空间行波管[31]为例进行非线性分析,其互作用结构采用均匀螺距分布,高频结构如图1所示.电参数和高频参数分别如表1和表2所列.

图1 高频结构Fig.1.High frequency structure.

表1 L波段行波管和C波段行波管的电参数Table 1.L-band and C-band TWT beam parameters.

表2 L波段行波管和C波段行波管的高频参数Table 2.L-band and C-band TWT dispersion parameters.

3.2 拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性理论模型的对比

在L波段行波管中,图2—图4分别对拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型在5,10和15 GHz的功率、增益和相移进行对比.在C波段行波管中,图5—图7分别对拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型在1.4,2.8和4.2 GHz的功率、增益和相移进行对比.从对比图中可以看出,在线性区到增益1 dB压缩点,考虑谐波互作用欧拉非线性模型的功率、增益和相移与拉格朗日理论模型十分符合.

图2 拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型的输出功率随轴分布(L波段行波管)Fig.2.Power versus axial distance for Lagrangian beamwave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering(L-band TWT).

图3 拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型的增益随轴分布(L波段行波管)Fig.3.Gain versus axial distance for Lagrangian beamwave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction(L-band TWT).

在饱和位置附近,二者将产生一定差异,差异主要源于以下两个方面:1)电子相位连续分布函数ψk(z)的傅里叶展开式仅考虑了零阶分量A0(z)和一阶分量A1(z),忽略了二阶及二阶以上分量A2(z),A3(z),A4(z),···;2) 电子超越现象的产生导致欧拉模型无法对此时的电子相位连续分布函数ψk(z)进行精确描述,进而导致二者的功率、增益以及相移产生误差.

显然,可通过考虑电子相位连续分布函数ψk(z)的高阶傅里叶展开分量来提高谐波模型在饱和位置附近的计算精度,后续将对此进行研究.但需要注意的是考虑谐波互作用欧拉非线性模型的优势在于形式简单,易于解析求解,能够对行波管各种非线性特性进行更加直接和有效的分析[19],可用于非线性现象的产生机理和抑制方法的研究.而电子相位高阶傅里叶展开分量的引入将极大增加方程的复杂程度,可能导致方程无法解析求解,因此电子相位高阶傅里叶展开分量的引入有待商榷.

图4 拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型的相移随轴分布(L波段行波管)Fig.4.Phase versus axial distance for Lagrangian beamwave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction(L-band TWT).

图5 拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型的输出功率随轴分布(C波段行波管)Fig.5.Power versus axial distance for Lagrangian beamwave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction(C-band TWT).

图6 拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型的增益随轴分布(C波段行波管)Fig.6.Gain versus axial distance for Lagrangian beamwave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction(C-band TWT).

图7 拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型的相移随轴分布(C波段行波管)Fig.7.Phase versus axial distance for Lagrangian beam-wave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction(C-band TWT).

3.3 增益1 dB压缩点处的对比

在L波段行波段和C波段行波管的增益1 dB压缩点处,分别对比了拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型在不同谐波频率处的增益(图8和图9).从图中可以看出:在增益1 dB压缩点处,考虑谐波互作用欧拉非线性模型的增益相较于拉格朗日理论模型的计算结果略微偏高,增益最大误差不超过4%.仿真对比结果验证了考虑谐波互作用欧拉非线性模型在增益1 dB压缩点处的正确性和有效性.此外,Wöhlbier等[25]报道的一维多频欧拉非线性MUSE模型在整个互作用区都与拉格朗日理论存在巨大差异,即从线性区开始二者就存在很大差异,并随着互作用的进行二者差异越来越大,在增益1 dB压缩点处二者的基波增益相差2 dB,二次谐波增益相差3 dB.因此,相较于MUSE模型,考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型在精度上得到极大提升.

图8 在L波段行波管增益1 dB压缩点处,拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型的增益Fig.8.Gain comparison for Lagrangian beam-wave interaction theory model and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction at 1 dB gain compression point for dif f erent harmonic frequencies in the L-band helix TWT.

图9 在C波段行波管增益1 dB压缩点处,拉格朗日理论模型与考虑谐波互作用欧拉非线性模型的增益对比Fig.9.Gain comparison for Lagrangian beam-wave interaction theory model and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction at 1 dB gain compression point for dif f erent harmonic frequencies in the C-band helix TWT.

4 结 论

在拉格朗日体系考虑谐波互作用理论模型的基础上,将离散的粒子近似处理为流体,得到电子相位的连续分布函数.对电子相位的连续分布函数进行傅里叶一阶展开,积分并结合贝塞尔母函数关系式,最终建立了考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型.应用建立的考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型对一支L波段空间行波管和一支C波段空间行波管进行大信号分析,并与拉格朗日理论模型进行对比.结果表明:考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型能有效对非线性区激励的谐波进行分析.在增益1 dB压缩点之前,考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型与拉格朗日理论模型十分符合,最大增益误差不超过4%.仿真结果验证了考虑谐波互作用的欧拉非线性理论模型的正确性和有效性.在饱和位置附近,由于考虑谐波互作用欧拉非线性模型无法对电子超越现象进行精确描述,导致这两种理论产生一定差异.然而考虑谐波互作用欧拉非线性模型的优势在于形式简单,易于解析求解,能够对空间行波管的谐波产生机理进行更加直接和深入的研究.考虑谐波互作用的欧拉非线性理论为谐波计算提供了一个快速计算模型,后续工作将利用该模型对谐波的产生机理和抑制方法进行深入研究.

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