三角函数的图像和性质问题归类解析

■杜红全

三角函数是高中数学的主干知识,也是高考重点考查的内容之一,而三角函数的图像和性质更是高考考查的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题。下面就近几年的高考题中考查三角函数的图像和性质的有关问题进行归类解析,以帮助大家更好地学习及掌握这一知识。

一、考查三角函数的最值

评析:解答本题的关键是先把原函数化为关于cosx的二次函数,再用配方法求解。

二、考查三角函数的奇偶性

例 2 将函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为( )。

评析:解答本题的关键是利用偶函数列出方程求解的。

三、考查三角函数的周期性

评析:题中曲线y=f(x)与直线y=1的相邻交点距离的最小值为的转化是解题

四、考查三角函数的单调性

例 4 已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图1所示,则f(x)的单调递减区间为( )。

图1

评析:解答本题的关键是根据函数的图像求出最小正周期,其难点是求φ的值。

五、考查三角函数的图像变换

例5 已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x +2),则下列结论正确的是( )。

A.先把曲线C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

B.先把曲线C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

C.先把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

D.先把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

评析:三角函数的图像变换都是同名三角函数图像之间的变换,无论是先平移后伸缩,还是先伸缩后平移,都是针对自变量x而言的。