《实变函数与泛函分析》课程改革

简思綦

摘要：本文探讨了《实变函数与泛函分析》课程内容改革，一是采用一维化方法从一维实数空间的测度论开始学习，二是采用测度的可数可加性？圯叶戈洛夫定理？圯有界收敛定理的学习路径学习测度论，可测函数和积分论的性质。此教学方案突出课程核心内容，减轻了课程难度，适合数学类和相关专业学生学习。

关键词：一维化方法；测度论；学习路径

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）15-0068-02

一、引言

随着大学教育跟国际接轨，在笔者所在首都经济贸易大学，高年级数学课程越来越受到重视。《实变函数与泛函分析》（简称实变课程）课程不仅是数学、统计类学生的必修课，也在经济、管理类学生中受到欢迎。随着学生范围的扩大，有必要针对学生背景改革实变课程的教学内容和方法。

二、《实变函数与泛函分析》课程教学改革建议

实变课程的主要内容是通过n维欧式空间（简记为n维空间）上Lebesgue意义下测度、可测函数、积分论基本理论的学习，理解抽象测度论和n维空间结构相互结合。n维空间上测度论是后继课程《测度论》和《随机过程》的基础，也是现代数学的基石。由于测度论的抽象性，我们都是通过学习n维空间上测度论过渡到抽象测度论。n维空间上测度论包括许多抽象测度论的内容，给出了抽象测度论具体实现的空间，也是对实数结构更加深入的认识。采用教材[1]得到启发，笔者认为可以在两个大方面改善课程教学，第一个方面是在n维空间测度论学习中首先学习一维实数空间、R的测度论，从R的测度论出发再深入学习n维空间的测度论，第二个方面是在完成测度论学习后，采用抽象测度论的方法把测度、可测函数和积分论的性质联系在一起，具体学习路径是：

测度的可数可加性？圯叶戈洛夫定理？圯有界收敛定理？圯Fatou引理？圯Lebesgue控制收敛定理。

我们从实变课程中测度、可测函数和积分论来讨论以上两个方面。

（一）学习n维空间测度论的新方法第一步，R实数空间。

我们知道测度论的学习一般分为两个阶段，第一阶段《实变》课程学习n维空间上Lebesgue测度论，第二阶段《测度论》课程学习抽象测度论。国内数学教材比如[2]，是直接学习n维欧式空间测度理论。传统数学系学生已经对n维空间的拓扑结构有比较深入的了解，此方法不无不可。而对财经类院校学生，对于n维空间不太熟悉，那么直接学习n维欧式空间测度理论有相当难度。笔者翻阅了众多教材，发现书[1]从n=1，即实数轴R上的测度论讲起，非常方便数学基础相对薄弱的学生直接学习实变课程。我们叙述学习R上测度论的优点：

1.R上容易证明以下命题。

命题1（[1]Propostion1 P31）：R上区间的外测度是其长度。

2.R上容易证明以下命题。

命题2（[1]Propostion8 P38）：R上每个区间是可测的。

在抽象测度论方面，我们引入Caratheodory条件定义可测集。测度就是外测度在可测集上的限制。可测集满足？滓-代数性质，且测度具有可数可加性，上、下连续性。关键在R上我们可以比较容易地证明每个区间都是可测的，避免n维空间上结果的技术细节，从而通过区间生成Borel可测集和Lebesgue可测集。

3.R的拓扑结构简单，我们有如下命题。

命題3（[1]Propostion9 P17）：R的非空开集是可数个开区间的并集，非空闭集是可数个闭区间的并集。

R上拓扑结构是开、闭区间概念的直接推广，直接引入了拓扑概念。我们可以用开集、闭集逼近可测集，便于理解拓扑与测度的关系（[1]P40）。

学习n维空间测度论的新方法第二步，n维空间。

在具体学完R上测度后，我们对抽象测度论有一定理解，只需拓展以上三个命题就可以理解n维空间上Lebesgue测度论，大大减轻了学习难度。

命题1 （[1]例P62）：n维空间上矩体的外测度是其体积。

命题2 （[1]定理2.9 P74）：n维空间上每个开矩体是可测的。

命题3 n维空间上每个开集是可数个开矩体的并集。

命题1在书[2]中并没有给出详细证明，其具体证明细节把命题1的证明推广到多维。命题2比命题2的证明复杂。

（二）对于R上的可测函数类，我们可以比较简单地证明Littlewood三原则（[1]P64）。①每个可测集几乎是有限个区间的并集（[1]Theorem12 P41）。②每个可测函数几乎是连续的，即鲁津定理（[1]P66）。③函数列点态收敛几乎是一致收敛，即叶戈洛夫定理（[1]P64）。其中叶戈洛夫定理的证明用到了Lebesgue测度的连续性，即测度可数可加性的一个推论，联系了测度和可测函数的性质（[1]Remark P78）。

（三）对于R上的可测函数的Lebesgue积分。我们利用叶戈洛夫定理证明有界收敛定理，联系了可测函数和积分的性质（[1]Remark P78），进而证明Fatou引理，单调收敛定理，Lebesgue控制收敛定理。

以上（二），（三）部分参考学习路径，属于抽象测度论的内容，其结果可以平行地推广到Rn空间中。

三、结束语

综上所述，以上《实变函数与泛函分析》课程关于一维化方法和测度、可测函数、积分论学习路径的建议是适应课程面向大众化的改革方案，突出核心内容，极大减轻了教学内容的难度，便于学生学习。根据学生情况，课程还可以增加弱收敛、度量空间、拓扑空间、Banach空间、Hilbert空间等内容。

致谢：本文得到2017年首都经济贸易大学教育教学改革项目“《实变函数与泛函分析》课程与先修课程《数学分析》和《高等代数》一体化教学研究”的资助，特此表示感谢！

参考文献：

[1]H.Royden，P.Fitzpatrick.Real Analysi，Fourth Edition[M].机械工业出版社，2010.

[2]周民强.实变函数论[M].第2版.北京大学出版社，2008.