数学建模思想融入常微分方程教学的探讨

李明伟

摘 要：常微分方程作为高等数学当中一门基础性的课程是用来专门描述客观存在的事物之间数量关系的重要模型。现存的传统方式的常微分方程教学方法已经越来越不能满足学生兴趣型与主动性学习的要求，这也给教师的教学带来了相当大的难度。为了能够更好的解决这个问题，文章就如何将数学建模思想融入常微分方程的教学当中来进行探讨，并对常微分方程的教学方法提出创新改革。

关键词：数学建模思想；常微分方程；融合；教学

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）01-0093-03

Abstract： Ordinary differential equation， as a basic course in higher mathematics， is an important model used to describe the quantitative relationship between objective things. The current and traditional teaching method of ordinary differential equations has become increasingly unable to meet the students' requirements for interest and learning initiative， which has also brought considerable difficulty for teachers' teaching. In order to solve these problems better， how the mathematical modeling is integrated into ordinary differential equation teaching is discussed， and the teaching methods of ordinary differential equations are carried out in innovation and reform.

Keywords： mathematical modeling thought； ordinary differential equation； integration； teaching

目前我国很多地方高等院校已经积极开展高等教育向应用型教育方向转变，开始更加注重学生发现力、创造力、创新力以及实际动手能力的提升。而作为高等院校当中最基础的学科——高等数学，也在教育改革的大背景下开始进行着多方面的改革创新。

一、常微分方程在数学中的发展与建模

很多人对数学的第一印象大多都是代数方程或者公式之类，我们常见的方程有指数方程以及线性方程等等。虽然方程的学习是数学学习中的一个非常重要的板块，但是有时候方程却并不能解决所有的数学问题，所以往往我们需要根据问题的实际要求结合问题中所给出的条件来探索新的方程式。另外，很多稍微高深一点的数学问题并不能够由一个方程式或者数值就能推算出来结果，一般都还需要建立一个复杂的函数关系。这种函数关系看似复杂其实也并不是很难，因为我们学习数学能够知道，很多方程式之间是存在着很大的关联性的，这些关联性能够根据已有的方程式条件来推导出另一种方程公式用来解答。数学解题中大多数时候方式都不是一成不变的，往往会随着给出条件的变化而改变，我们研究的常微分方程就是这样的。

何为数学建模？常微分方程当中的数学建模就是指在面对一些较为复杂困难的问题时，通过对问题进行详尽的研究与分析来找出其中所存在的数学规律，归纳问题中的抽象关系。并利用这些问题中规律与关系来解决实际生活中能够遇到的一些相关问题。在这整个过程当中就被称为数学建模。

二、常微分方程在数学建模中的特点

在数学当中很多既定的关系都是可以千变万化的，方程式也是一样。在一个给出具体的特定环境当中，由于研究的个体对象不能确定从而会产生很多的变化，但是这些变化是有规律可循的。清晰的掌握住这些规律，从这些规律当中来研究出既定的原理，这个原理就是整个问题解决的重点。对于这种由于形式的变化而产生规律从而利用规律解决问题的过程就是建模的一种固有状态。关于数学建模，我们首先必须要对所给出的问题展开全面的分析，要对数学建模目的有个清晰的了解。之后根据所给出的方程形式找出规律列出常微分方程解答出答案，最后对答案进行研究分析，数学建模具有很强的逻辑性。数学建模一般都是来自于实际生活中的一些经验与方法，借助数学知识中某个切入点进行深入探讨。由于数学建模中很多问题的解决都不能唯一确定的，所以解答起来也较为繁琐。这时候我们可以利用常微分方程的解答方式来帮助数学建模过程的探索。

三、数学建模思想融入常微分方程教学的必要性

常微分方程是高等数学当中的学习内容，而高等数学则是我国目前大多数高等院校当中最为基础的课程，尤其对应用与教学类专业的同学更为重要。同时常微分方程也是经管类、工科类等专业的学生必须学习的重要内容，是其他多个专业性学科的理论与实践基础。常微分方程作为一种重要模型用来专门描述客观事物中的数量关系，能够有效的解决人们日常生活中所遇到的数学问题，并且常微分方程已经被广泛应用在很多数学相关领域的研究当中。

目前我国大多数高校的常微分方程教学都还是保持着传统模式的教学方法，在这样的教学模式之下，学生们根据书本内容结合老师上课时所教授的解题技巧与方法可以很好的熟知常微分方程的解题方法。但这仅仅只是为了解题而解题，忽略了学习的目的性是为了付诸实践应用，学生们大都觉得只需要知道如何解题就可以了，对其题目的实际应用却知之甚少。这也就导致学生在运用常微分方程来解决生活实际问题时会有所短缺。另外，对于很多大学生来说，高等数学这门课程是让人比较害怕的学科，常微分方程的学习也是相对有着很大的难度，这样也会使得很多学生对学习这门课程失去了信心与興趣。这一点对于我国高校教育改革来说是一个需要注重的地方。很明显，传统陈旧的常微分方程教学模式已经慢慢开始不能够适应新时代下的高校大学生的学习需求，改革创新常微分方程的教学方式已经迫在眉睫。而在常微分方程的教学创新改革当中，引入数学建模思想就是一个比较好的切入点。数学建模思想的融合可以将数学当中的知识运用到生活实际当中去解决相关数学问题，是数学与社会生活的交集点。从另外一个层面来说，数学建模思想融入常微分方程教学还可以在很大程度上加强学生的思维能力扩散以及实际应用能力的提升。现已有相关数学教学委员会正式提出在高校常微分方程教学当中要注重学生建立数学模型思想的培养，并且要加强学生解决实际问题时的数学应用能力。由此可见，加强数学建模思想与常微分方程教学的有机融合，能够非常有效的提升学生在日常生活中运用常微分方程来解决问题。此外，作为一种具有创新意义的教学方法，数学建模可以积极引导学生充分了解高数常微分方程学习的方法与实际意义，并能够极大的培养学生实际操作应用能力。

四、数学建模思想融入常微分方程教学的具体内涵

（一）数学建模过程阶段分析

数学建模一开始提出来的目的就是为了解决生活中的某一个实际问题。设定一个特定内容作为研究对象，通过对其进行系列假设与简化将数学结构给科学具体的构建出来。运用这一数学结构对现实存在的问题现象进行合理解释最后得出研究结果与规律，并从研究结果与规律当中对问题未来发展进行预测。所以，数学建模并不只是在理论上实施出来的，而是来源于社会实践。其建设的方法要与实践相一致，建设结果也必须要反作用与实践当中。关于数学建模的过程我们可以分为具体以下几个阶段：

1. 模型准备：模型准备就是在建设模型之前对即将要研究对象的内容、背景以及方向进行系统性的了解，并且还需要对研究对象的实际意义进行探索。模型准备是数学建模的前提与基础，是数学建模前所必须要充分准备的内容。2.模型假设：模型假设是在模型准备之后，针对具体的社会实际对研究问题进行简化，并对所要研究的问题进行合理、精准的推测与假设。3.模型建立：模型假设之后，我们要将具体的社会实际问题给抽象化，让其转换为我们所研究的数学问题，根据数学问题在常微分方程中的所属种类来建立一个对应的数学结构。4.模型求解：数学结构建立之后，我们就已经将实际问题给转化为数学问题，之后结合所学常微分方程内容对这一数学结构进行计算解答。5.模型分析：对模型求解出来的结果进行数学层面的专业分析。6.模型检验：将模型分析之后的結果与实际问题当中的具体情况进行比较研究，以确保建构模型的合理性与准确性。7.模型应用：模型检验之后如果确定了数学模型的实用性，我们就可以根据一开始建构模型的目的将其应用到实际问题的解决当中。

（二）数学建构模型思想的具体内涵

我们这里所提到的数学建模思想具体指的是将我们的理论知识与解答方法与我们生活实际当中的问题进行的有机结合这样一种数学学习创新思想。具体从两个方面来认知建构模型融入常微分方程教学当中的内涵：一方面来说，实际生活当中存在着很多很难解决的问题，需要我们通过构建数学模型来将其抽象化，转化为我们认知的数学问题。然后依靠我们的专业知识与数学解答方法来合理有效的解决这一问题。从另外一个方面来说，我们目前所有的包括数学、语文、物理等等各个领域的知识都是依靠人们通过对现实生活中的认识不断转变而来，是人们对生活实践的总结与延伸。所以，要想将数学建模思想融入到常微分方程的日常教学当中，我们首先就需要积极引导学生对常微分方程中数学模型的全方位认识。

五、将数学建模思想融入常微分方程教学的具体措施

（一）充分利用常微分方程教材中的应用素材

就目前而言，我国大多数高校所使用的常微分方程教学教材都是王高雄编著的《常微分方程》，亦或者我们在《高等数学》教材中也可以接触到少量的常微分方程学习。关于这些教材，普遍都包含着非常强的逻辑性思维以及较为严谨的理论性认知。在这些当中都不乏具有一些较为典型的数学建模案例的分析，最为典型的就是钟摆问题。这些具有较强抽象性的知识一般很少会出现在人们生活实际当中，不仅对专业外学生来说有很大的难度，就算是专业内学生遇到这些问题也会很头疼。所以，要培养学生的数学模型思想，首先教师就可以充分利用教材中所含有的数学建模素材来进行案例分析。这些教材上的数学模型案例一般都是具有很典型的研究意义，通俗易懂具有趣味性，并且与我们现代生产生活都有着密切的联系。教师通过教材当中的数学模型素材来积极引导学生们对数学模型建构的认识与理解，让学生能够分析研究抽象意义上的数学问题，从而也可以让学生能够进一步利用常微分方程数学建模思想来解决日常生活中所遇到的实际问题。这样不仅锻炼了学生们的专业数学知识，还提高了学生的相关应用能力，并且还在很大程度上激发了学生学习常微分方程的兴趣与积极性。

（二）结合相关数学模型应用案例教学

为了能够强化学生们对在课堂书本当中所学习到的理论知识的理解，锻炼学生们运用数学相关知识来解决生活实际中问题的能力，老师在日常的常微分方程教学当中，要带有目的性地将常微分方程理论专业知识与生活实际中形成的具体案例进行紧密相连，并且还要让学生能够自发主动的把社会实际中的问题抽象化之后构建成数学模型。这种结合生活应用案例教学的方法，既可以锻炼学生的数学建模思维能力，还可以提升学生对数学模型的直观认识，并且提高了学生面对实际问题的解决能力。就比如当我们在学习一阶常微分方程的时候，老师可以根据社会生产生活中经常出现的问题如我国人口增长模型、产品的销售问题等等进行举例说明。让学生能够把具体存在的社会问题抽象化成一个数学概念再对其进行数学模型的建立、分析与研究。

以国民经济的增长模型问题来举例。收入的来源是生产，而国民的收入主要用来消费、资金积累以及公共开支。我们需要对国民收入与这三种用途之间存在的数学抽象关系，并建立相关数学增长模型。解：我们假设Y（t）为国民平均收入水平，用C（t）来表示平均消费水平，用G表示用于公共设施的开支水平，这里我们可以把它当作一个常数；I（t）是时刻用于投入再生产的投资水平。根据实际情况可以看出国民的消费水平与国家生产水平成正比，比例系数为k，即C=Yk，k∈（0，1），称k是消费系数，S=1-k称为积累系数。对于t时刻国民这三方面总的需求水平表示为D（t），则有：D=kY+I+G（1）。通过对国民经济增长模型的建立与具体分析，我们能够很好的运用常微分方程的知识来分析出国民收入与消费资金、资金积累以及公共开支这三者之间的关系，这种模型也可以为国家制定相应政策提供参考价值与理论基础。

（三）引入“面向问题”式的教学模式

传统的教学逻辑下教师教学一般都是先让学生理解定义与原理再对学习方法进行讨论，之后再教授解题技巧这样一个流程。然而，一个科学的数学知识学习过程却并不是如此，通过这种系列方法固然可以让学生学习到理论意义上的知识，但是终归是缺乏实践基础。现在我国学习的最大问题并不是学不好，而是在于应用不好。所以，学生在这样的传统教学模式下并不是学习不到知识，只是这种学习方法已经老化，让学生学习起来更加难以掌握理解，那就更不用说将常微分方程应用到实际生活当中去解决问题了。传统教学下的常微分方程学习太过注重概念与理论的学习，对其理论如何推导、如何演算的方法方面缺乏重视。教师讲解一般都是一笔带过，也不会关心学生是否理解，只需要学生能够记住理论结果。这种教学方式太过机械化，压抑了学生学习的主观能动性，容易让学生对学习产生枯燥无趣的厌学心理。然后，运用“面向问题”教学方式来教学，可以让学生对自己感兴趣的生活实际问题进行研究分析，这样学生学习的主动性就有了保障，并且还能让学生的问题理解能力有所提升。之后根据学生自身所学习的专业常微分方程知识基础上对其实际问题进行理解总结，让学生能够切身体会到课堂上所学习到的理论知识应用于实践所带来的成就感，以此培养学生数学知识学习的兴趣与热情。

（四）采用启发讨论的教学方法

在传统常微分方程教学当中一般都是以教师作为课堂主导者，学生虽然作为学习的主体，但大多都只是作为一个听众被动接受知识。这样的教学不仅让学生的学习缺乏积极性主动性，而且还非常不利于学生对数学知识的掌握与理解。所以，在常微分方程教学创新当中应该积极改变教学方式，注重加强教师与学生之间的交流与沟通。学生与教师的沟通一旦到位，不仅可以活跃课堂教学氛围，还可以带动教师教学积极性与学生学习积极性，最重要的是能让学生学习质量与实际应用能力能够有极大地提升。能够具体加强教师与学生沟通交流的方法有许多，教师可以通过提问问题或者组织课堂学習活动等方法来引导学生们自主发现问题并能够分析解决问题。尤其在我们数学建模思想融入常微分方程教学当中时，老师首先要带领学生理解数学建模的整体过程，学生与教师一起参与到建模过程的各个环节。在这个过程当中，教师可以与学生展开自由讨论，充分发挥学生思考的自主性与能动性，学生也可以就不懂的数学问题向老师及时请教。这样一个方式就可以让学生能够最大效率的提升学习能力自己实际问题的解决能力。

（五）采用多媒体教学手段

既然是创新教学，那么在常微分方程教学当中自然不能离开现代科技的支撑。计算机多媒体教学现在已经被广泛运用于各阶段教学当中，其在高校教学中的应用最为广泛，基本贯穿整个高等教育的教学过程。所以在常微分方程的教学过程当中，我们可以将常微分方程教学与计算机多媒体紧密联系在一起，借助多媒体让学生所学数学知识有一个直观的认识，并且可以借助计算机软件来帮助计算方程式或者数值。这种教学手段一方面可以使得教师的教学更加便捷，另一方面也提高了学生的学习兴趣，并且还让学生能够学习得更加有效率。

（六）改变考核方法，将学生数学建模能力纳入考核体系

一般来说，我们要检验一个学生的学习成果都是通过考试的方式来进行。就目前而言，大多数高校的考试方法还是属于闭卷类理论考试为主，这种方法从理论考核本身来说并没有什么弊端，但是如果从应用性方面来考虑的话就存在缺失了。所以在常微分方程考核试卷中应该多增加一些应用性思维较强的题型，还可以将数学建模思想给融合到试卷当中让学生进行分析解答，这样就进一步锻炼和培养了学生利用数学建模解决实际问题的意识和能力。

总之，培养学生的数学建模思想是一个长期而漫长的过程，既需要教师的积极引导也需要学生主动积极学习。将数学建模思想融入到常微分方程教学当中可以将常微分方程的内涵不断延伸与分化，能够更深层次的解析社会生活，从而可以促进社会生产发展进步。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]刘会民，那文忠，等.“常微分方程”课程教学模式的改革与探索[J].数学教育学报，2006（01）.

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