探究等边三角形性质和判定

向鸥

摘 要：数学因其学科特点，是一门具有很强逻辑性、抽象性、系统性的学科.而数学中的几何部分逻辑性、抽象性、系统性更强，解决几何问题不能仅仅依靠单纯的模仿与记忆，而是要促使学生动手实践、合作交流与自主探索.提出适当的问题.几何的综合性非常强，它所需要的不仅仅是当下所学习的几个定理，还会用到以前所学到的知识点，多个知识点的综合运用确实需要学生会思考，会假设，会论证，会总结.下面我以等边三角形的判定，性质的综合运用，引导学生思考，假设，论证，总结.

关键词：等边三角形性质；等边三角形判定

等边三角形的性质和判定定理

等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.

等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

等边三角形的性质和判定的综合运用

Ⅱ如图，等边三角形ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上做等边三角形EDC，连接AE.

求证：⑴△ACE≌△BCD；⑵AE∥BC.

思路分析：（1）根据△ABC和△EDC是等边三角形，利用等边三角形的性质，等边三角形的三条边相等和等边三角形的三个角相等，求证∠ACE=∠BCD.然后即可证明结论。（2）根据△ACE≌△BCD，可得∠ABC=∠CAE=60°，利用等量代换求证∠CAE=∠ACB即可。

证明：（1）∵ △ABC和△EDC是等边三角形

∴ ∠ACB=∠DCE=60°

AC=BC，DC=EC

又∵ ∠BCD=∠ACB-∠ACD

∠ACE=∠DCE- ∠ACD

∴ ∠BCD=∠ACE

∴ △ACE≌△BCD

（2）∵ △ACE≌△BCD

∴ ∠ABC=∠CAE=60°

又∵ ∠ACB=60°

∴ ∠CAE=∠ACB

∴ AE∥BC

此题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定等知识点的理解和掌握.然而此题当中还有一个陷阱，学生往往看到动点两个字会感到非常害怕，不想思考，甚至不想再往后面读题。但是这道题跟动点没有关系.此题不僅仅培养学生在综合题型上的分析能力，还能让学生学会区分真假陷阱.此题难易程度适中，比较具有典型性.

Ⅲ如图，等边三角形ABC中，∠ACB和∠ABC的平分线相交于点O，OB、OC的垂直平分线分别交BC于E、F，连接OE、OF.

求证：△OEF是等边三角形

思路分析：从题目条件看，利用三角形的外角性质易求∠OEF=∠OFE=60°，从而证明△OEF是等边三角形.

证明：∵ E、F分别是线段OB、OC的垂直平分线上的点

∴ OE=BE，OF=BF

∴ ∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF

∵ △ABC是等边三角形

∴ ∠ABC=∠ACB=60°

又∵ OB、OC分别平分，∠ACB和∠ABC

∴ ∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°

∴ ∠OEF=∠OFE=60°

∴ ∠EOF=180°-2×60°=60°

∴ △OEF是等边三角形.

证明一个三角形是等边三角形，要根据已知条件选择适当的方法.（1）如果已知三边关系，则选择等边三角形的定义来判定；（2）若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；（3）若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定。然而这个题的综合性比较强，不仅仅用到了等边三角形的性质和判定，还用到了角平分线和垂直平分线的性质，最容易让学生忽略的还是三角形的外角性质.图形中的隐含已知条件往往是学生不容易关注到的.

Ⅳ 如图，已知点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E位AD延长线上一点，且CE=CA.

（1）求证：DE平分∠BDC

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD

思路分析：（1）此题在第一问中解答方法不止一种，这里简单介绍两种方法.方法一：由△ABC为等腰直角三角形可得AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，由∠CAD=∠CBD=15°可得∠DAB=∠DBA=30°，从而得到DA=DB，利用三角形的外角性质可得∠BDE=60°.用AC=BC，DA=DB，CD为公共边可得△ACD≌△BCD，通过全等三角形的性质可得∠ACD=∠BCD=45°，再次利用三角形的外角性质可得∠CDE=60°，从而证明出DE平分∠BDC.

证明：（1）∵ △ABC为等腰直角三角形

∴ AC=BC，

∠CAB=∠CBA=45°，∠ACB=90°

∵ ∠CAD=∠CBD=15°

∴ ∠DAB=∠DBA=30°

∴ DA=DB

在△ACD和△BCD中，

∴ △ACD≌△BCD

∴ ∠ACD=∠BCD=45°

又 ∠BDE=∠DAB+∠DBA=60°

∠CDE=∠DAC+∠ACD=60°

∴ ∠BDE=∠CDE =60°

∴ DE平分∠BDC

（2）连接MC

∵ DC=DM，∠CDE=60°

∴ △CDM是等边三角形

∴ CD=CM，∠CMD=60°

∴ ∠CME=120°

又 ∠BDC=∠BDE+∠CDE=120°

∴ ∠CME=∠BDC=120°

∵ CE=CA

∴ ∠CAD=∠E=15°

∵ ∠CAD=∠CBD=15°

∴ ∠E=∠CBD=15°

在△ECM和△BCD中，

∴△ECM≌△BCD

∴ME=BD

此题综合性非常强，不仅仅用到了等边三角形的性质和判定，还用到了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质“等边对等角”和性质“三线合一”，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，以及全等三角形的判定和性质.因此此题难度很大.而本题的一题多解，相同的条件，相同的问题，多样的方法，极大的触动了学生，丰富了他们的思维，激发了他们不断探索的兴趣，培养学生分析问题和解决问题的能力

参考文献

[1]启航新课堂.八年级（上册）.吉林教育出版社.2017.

[2]启航新课堂.八年级（上册）.吉林教育出版社.2017.

[3]启航新课堂.八年级（上册）.吉林教育出版社.2017.

（作者单位：科学城一中）