由一道复习题引发的思考

袁启云

中考复习阶段，在总结复习“等腰三角形的性质”时，一类题目引起了我的注意。归纳汇总了类似题目后，我决定作为专题上一次复习课。

原题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC的中点，PE⊥AB，垂足是E，PF⊥AC，垂足是F，CD是高。猜想PE+PF与CD的数量关系并证明你的结论。

巡视之后，我发现大多数学生都这样想：在△DBC中，由三角形中位线定理可知，PE=[12]CD；易证△EBP≌△FCP，从而发现PE+PF=CD。

本题并不复杂，学生很容易找到解题思路，但对本题的探讨是否仅止步于此呢？我进一步启发学生探究：当点P是底边BC上任意一点或底边BC延长线上任意一点（如图2），其他条件不变，PE、PF与CD的数量关系改变了吗？若不變请证明；若改变请说明理由。

搜集学生思路发现，学生一般用截长法或补短法解答，鲜有其他思路。当在延长线上时，学生也能发现结论改变为PE-PF=CD。

教学反思：解答本题也可以使用面积法，但学生鲜有用面积法证明，说明学生对面积法不熟，思路宽度不够。

我要求学生用一句话归纳自己得到的结论，并用结论解决下列问题：

练习1：如图3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PF⊥BD于F，PE⊥AC于E，则PE+PF的值为（ ）。

A .[125] B.[135] C.[52] D.2

随后，我又将题目做了变式处理：将等腰三角形改为等边三角形，将底边上一点移到内部或外部时，结果有没有变化呢？

练习2：如图4，△ABC为正三角形，点P是△ABC内任意一点，PE⊥AB，垂足是E，PF⊥AC，垂足是F， PD⊥BC，垂足是D， CH是高，猜想PE，PF，PD与CH有何数量关系？并证明你的猜想。

如图5，当这一点在等边三角形外部时，这一点到三边的距离与等边三角形的一边上的高有何关系？并证明你的猜想。

观察发现：由于学生对面积法不熟，思路宽度不够，所以连结论都猜不出，不知从何下手，也想不起与例题（等腰三角形）的结论有何关系。

教学反思：因为前面学生鲜有用面积法证明，故展示的例题功能没有发挥出来，无法借鉴思路，此时，教师需要再补充例题面积法的讲解。

练习3：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是下底BC上任意一点，PE⊥AB，垂足是E，PF⊥CD，垂足是F。求证：PE+PF是一个定值。

图6

我启发学生从以下几方面去思考：①想想此图与等腰三角形有何联系？②四边形是多边形，解决多边形的问题常用什么方法（割、补法）？由等腰梯形如何得到等腰三角形？并追问：当点P在BC的延长线上时，其他条件不变，试求│PE-PF│的值。学生尝试用面积法解决，大大加快了解题进度。

（作者单位：襄阳市南漳县九集中学）