变截面连续箱梁剪力滞分析的有限梁段法

周朋，蔺鹏臻

(1. 兰州交通大学 甘肃省道路桥梁与地下工程重点实验室，甘肃 兰州 730070；2. 兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070)

箱形梁截面具有抗扭刚度大，能有效地抵抗正负弯矩，其承重结构与传力结构相结合，使各部件共同受力，截面效率高等优点。箱梁设计中，若忽略剪力滞效应，会对箱梁的抗弯刚度的计算产生较大偏差，致使挠度计算值偏小；还会使箱梁翼缘板中实际应力峰值无法得到真实反映，产生裂缝，从而造成结构安全隐患[1]。因此，分析研究箱梁的剪力滞效应非常重要。分析箱梁剪力滞效应的核心是剪力滞翘曲位移函数的选取。Reissner[2]假设翼板纵向位移沿横向按二次抛物线分布，首次用变分法分析双轴对称矩形箱梁剪力滞问题。张士铎等[3]选取翘曲位移函数为四次抛物线，用差分法分析变截面箱梁的负剪力滞效应。LUO等[4]在变分原理基础上，取剪滞微分方程的齐次解作为梁段有限元位移模式，采用有限段法分析箱梁剪力滞效应。张元海等[5]以附加挠度作为广义位移，采用梁段有限元法分析薄壁箱梁剪力滞效应。文献[6]与文献[3−5]基本思路相似，不同是在变分原理基础上，采用每结点有2个剪力滞自由度有限梁段法求解剪力滞效应。在有限单元分析基础上，魏丽娜等[7]提出当量截面法近似计算变截面箱梁的剪力滞效应。Chang[8]采用叠加原理分析连续箱梁的剪力滞效应。饶德军等[9]分析有机玻璃箱梁模型，测定其在不同荷载工况下剪力滞效应。本文选用的翘曲位移函数是基于翼板间剪力流的差异，利用翼板剪切变形规律来定义的，原理更具科学性。在此基础上，采用每结点有2个剪力滞自由度的有限梁段方法分析变截面连续箱梁剪力滞效应，结合文献[6−9]分析变截面连续箱梁在不同荷载工况作用下箱梁典型截面及其沿梁纵向的剪力滞效应，将计算结果与文献[10−11]结合当量截面法和叠加原理所得结果进行比较。

1 剪滞翘曲位移函数及微分方程

结合文献[12]，薄壁箱梁在竖向荷载作用下，截面的弯曲变形伴随着截面面外的翘曲而产生剪力滞后效应，从而在横截面上存在服从平截面假设的剪滞翘曲位移。定义ω(x)为横截面任一点(x, y, z)的竖向挠曲位移，ω′(x)为相应转角，u(x, y, z)为纵向位移，u(x)为截面广义剪滞翘曲位移，f (y, z)为剪滞翘曲位移函数。箱梁截面示意图如图1。

图1 箱梁截面示意图Fig. 1 Schematic diagram of box girder section

由文献[10]已知基于剪切变形规律的翘曲位移函数：

横截面的纵向位移为：

式中：ξ2=Ac/At；即悬臂板和内侧顶板面积之比；ξ3=ZxAb/ZsAs；As为顶板的面积包括悬臂板和内侧顶板；Ab为底板面积。

由变分法原理，得到下列微分方程及边界条件：

整理式(3)，得到梁段的剪力滞控制微分方程：

E为弹性模量；G为剪切模量；Q(x)和M(x)分别为梁上任意截面x处的剪力和弯矩；I为全截面竖向弯曲惯性矩；Iu为全部翼板的剪滞翘曲惯性矩；Iyu为全部翼板的剪滞翘曲惯性积；Au为全部翼板的剪滞翘曲面积。

考虑剪力滞影响，由式(1)~(3)第1式得箱梁任意截面上的应力为：

式(6)中 f(y, z) 取式(2)中的第 1式，则顶板应力为：

悬臂板、底板应力同理可得。

2 剪滞分析的有限梁段公式

考虑剪力滞的梁段单元如图2。结合文献[6]，在竖向分布荷载作用下，单元两端的杆端力分别为Qi和Mi以及Qj和Mj。假定剪力在梁单元上线性分布，那么：

式中：l为梁段单元长度。

图2 梁段单元受力图Fig. 2 Force diagrams of beam segment element

假定剪力滞只影响梁截面上正应力的分布，沿梁纵向的截面内力不发生改变。则可由一般有限元法得到单元两端的杆端力Qi，Mi和Qj，Mj。微分方程(4)的一般解形式为：

由边界条件可确定系数 C1和 C2。式(9)求导可得：

x=0，u=ui，u′=ui′和 x=l，u=uj，u′=uj′推导可得矩阵方程：

式中：

[D]为单元系数矩阵；{u}为广义单元结点位移列阵；{p}为广义单元外荷载向量。

由单元剪力滞系数矩阵[D]为对称矩阵，得结构的总剪力滞系数矩阵也是对称矩阵。总剪力滞系数矩阵的组集和形成方法与形成总刚度矩阵的相同，求解方程组的方法与一般有限元法也相同。

按上述方法进行单元分析后，即可根据剪力滞广义平衡与变形协调条件，把作为分离体的各个单元重新组成完整的结构。

边界条件：梁固端u=0；梁简支或自由u′=0；

连续条件：广义剪力滞位移在相邻单元公共结点处相等。对任意公共结点a，满足：

如果此公共结点a，为单元e的j端和单元e+1的i端，则连续条件满足：

以上分析只考虑截面没有集中弯矩的情况，对截面有集中弯矩的情况需另作分析。

3 变截面箱梁剪力滞效应分析

3.1 当量截面法

由式(6)可知，箱梁任意截面上的应力与I (全截面竖向弯曲惯性矩) 和 Iyu(全部翼板的剪滞翘曲惯性积)有关。对变截面箱梁，沿梁纵向其截面几何尺寸不断变化，I和Iyu也随之变化，即I和Iyu沿纵向是x的函数。

结合文献[7]，沿梁纵向分段计算实际各截面 I和Iyu/I，然后，求出各截面之当量值m1和m2。以此截面当量值代替变截面值I和Iyu/I，以计算等截面梁的方法计算变截面梁的剪力滞效应，从而达到简单求解变截面箱梁的剪力滞效应的目的。当量值m1和m2取法如下：

式中：Isu和Isb分别为忽略翼板自身惯性矩时上、下翼板对截面形心轴的惯性矩；I为忽略翼板自身惯性时的截面惯性矩；Iw为腹板对截面形心的惯性矩。

由式(6)可得，变截面箱梁任意截面上的应力为：

3.2 叠加原理

叠加法分析箱梁的剪力滞效应可表述为：连续梁及静定梁在承受多种类型荷载的情况下，考虑剪力滞的内力等于其基本静定体系在每个单一荷载作用下考虑剪力滞效应的内力的总和[8]。即：

式中：M 为超静定结构在计算截面处的弯矩；Mi为基本体系在某一荷载作用下计算截面处弯矩；W为计算截面的截面模量；λ为超静定结构中计算截面处的剪力滞系数；λi为基本体系中，某一荷载下计算截面剪力滞系数；

3.3 剪力滞系数

剪力滞系数λ表示为：

按初等梁理论得箱梁任意截面上的应力为：

σx为考虑剪力滞后箱梁任意截面应力，由式(6)算得。

腹板与翼板的交界处(y=b1)剪力滞系数为：

顶板中点处(y=0)剪力滞系数为：

4 与实验解的对比验证

4.1 实验模型基本参数

选取文献[9]有机玻璃试验模型，梁桥总长178.8 cm，计算跨径(46+86+46) cm；中跨跨中和两边跨端各有6 cm长的等高度段。变高度部分截面高度按二次抛物线变化，变化规律为：y=4+0.002 5 x2。模型跨中、支座、端部设0.8 cm厚横隔板。材料弹性模量E=2 600 MPa，泊松比为0.4。每个横桥向测试断面布置12个测点，本文选取其前6个测点。模型梁用同一牌号有机玻璃板材制作。箱梁尺寸和实验测点布置位置如图3，加载方式如图4。

4.2 典型截面纵向应力分析

采用基于剪切变形规律的翘曲位移函数的有限梁段法，组集剪力滞系数矩阵[D]与广义外荷载向量{p}，运用MATLAB软件编程求解可得变截面连续箱梁任意横截面位置处各翼板的纵向应力。因为连续梁在竖向荷载作用下存在正负弯矩问题，为使所选截面更具代表性，本文选取中跨正弯矩区段的跨中截面(Ⅰ–Ⅰ)和边跨负弯矩区段支座截面(Ⅱ–Ⅱ)来研究箱梁的剪力滞效应。为验证本文方法分析箱梁剪力滞效应的有效性和准确性，采用 ANSYS有限元软件建立板壳模型进行数值分析，并与模型试验值[9]和文献[10]结合当量截面法和叠加原理所得结果进行对比。实验模型在图4加载方式下的各翼板的纵向应力如图5~8。

图3 模型尺寸及测点位置Fig. 3 Model size and position of measuring point

图4 加载示意图Fig. 4 Schematic diagram of loading

由图5~8可得，采用本文方法分析变截面连续箱梁分别在中跨跨中作用集中荷载和满跨均布荷载时的剪力滞效应。分析表明截面(Ⅰ−Ⅰ)和截面(Ⅱ−Ⅱ)的纵向应力分布与文献[10]结合当量截面法和叠加原理分析结果吻合良好。与ANSYS解析解相比，腹板与顶板交接处附近及其悬臂板分析结果吻合良好，顶板与ANSYS解析解的误差在合理范围内。实验数据与本文分析结果也具有较高的吻合度。

图5 中跨跨中集中力作用下Ⅰ-Ⅰ截面纵向应力分布Fig. 5 Distribution of longitudinal stress in theⅠ–Ⅰcross section under mid-span concentrated load of the central span

图6 中跨跨中集中力作用下Ⅱ–Ⅱ截面纵向应力分布Fig. 6 Distribution of longitudinal stress in theⅡ–Ⅱcross section under mid-span concentrated load of the central span

图7 满跨均布荷载作用下Ⅰ–Ⅰ截面纵向应力分布Fig. 7 Distribution of longitudinal stress in the Ⅰ–Ⅰ cross section under uniformly distributed load

图8 满跨均布荷载作用下Ⅱ–Ⅱ截面纵向应力分布Fig. 8 Distribution of longitudinal stress in the Ⅱ–Ⅱ cross section under uniformly distributed load

4.3 沿梁纵向的剪力滞效应分析

4.3.1 箱梁坐标方向及纵向位置选取

本文分析文献[9]有机玻璃实验模型沿梁纵向剪力滞效应时，箱梁坐标方向如图9所示。本文方法可求得箱梁任意位置处沿梁纵向的剪力滞系数分布，本文选取y=b1与y=0处的沿梁纵向剪力滞系数分布。

图9 箱梁模型坐标方向Fig. 9 Direction of box girder model

4.3.2 剪力滞系数计算

基于剪切变形规律的翘曲位移函数的有限梁段法相关原理，运用 MATLAB编程分析变截面连续箱梁分别在中跨跨中集中荷载和满跨均布荷载作用下沿梁长度方向的剪力滞效应，将分析结果与文献[11]变分法结合当量截面法和叠加原理分析结果对比，如图10~11。

图10 中跨跨中集中荷载下剪力滞系数沿梁纵向分布Fig. 10 Longitudinal distribution of shear lag coefficient along the beam mid-span concentrated load of the central span

由图10~11可得，与简支梁类似，在结构形态、边界条件和荷载条件完全对称的情况下，用本文方法分析得到的剪力滞系数结果关于中跨跨中截面完全对称。支座截面位置处弯矩为负值且有应力集中现象，出现剪力滞系数峰值；反弯点处弯矩为0，由式(20)~(21)可得剪力滞系数有奇异现象，有间断跳跃情况。由于边跨跨径小，宽跨比大，所以边跨的剪力滞效应比中跨明显。中跨跨中集中荷载作用下的剪力滞效应比满跨均布荷载作用下更加显著。以上分析可得，实验模型在不同荷载工况下，本文分析得到的沿梁纵向的剪力滞系数结果与变分法所得结果吻合良好。

图11 满跨均布荷载下剪力滞系数沿梁纵向分布Fig. 11 Longitudinal distribution of shear lag coefficient along the beam under uniformly distributed load

5 工程实例铁路箱梁的剪力滞分析

5.1 基本参数

以新建铁路广州至珠海城际快速轨道交通工程中(57+100+57) m连续箱梁为例。梁高按圆曲线变化，圆曲线半径为R=488.546 m。箱梁采用C60高性能混凝土，弹性模量 E=3.65×104MPa，剪切模量G=1.42×104MPa。箱梁截面尺寸如图12。

图12 箱梁横截面尺寸Fig. 12 Size of box girder cross-section

5.2 剪力滞效应分析

为进一步验证本文方法的准确性及普遍适用性，采用本文方法分析工程实例中连续梁桥在中跨跨中集中力和均布荷载作用下沿梁纵向的剪力滞效应。将计算结果与文献[11]变分法计算结果对比，如图13~14。

图13 中跨跨中集中荷载下剪力滞系数沿梁纵向分布Fig. 13 Longitudinal distribution of shear lag coefficient along the beam mid-span concentrated load of the central span

图14 均布荷载下剪力滞系数沿梁纵向分布Fig. 14 Longitudinal distribution of shear lag coefficient along the beam under uniformly distributed load

由图13~14可得，与实验模型类似，当结构对称时，本文方法计算所得剪力滞系数关于对称轴完全对称；中跨两侧支座位置处有应力集中现象，出现剪力滞系数峰值；梁桥在竖向荷载作用下弯矩为0位置处剪力滞系数有奇异现象。与实验模型不同的是：沿梁长方向除支座及弯矩为0位置处以外，其余区段的剪力滞系数都与1较为接近且基本无波动。实际工程实例在不同荷载工况下，本文方法所得沿梁纵向的剪力滞系数与变分法所得结果吻合良好。由文献[4, 10−12]可知，运用变分法分析箱梁的剪力滞效应与有限元分析结果和试验解吻合良好，进一步证实了本文方法的准确性。

6 结论

1) 基于剪切变形规律的翘曲位移函数，在能量变分法控制微分方程的基础上，提出有限梁段法来分析变截面连续箱梁剪力滞效应，该翘曲位移函数从剪力滞效应是由于翼板剪切变形引起的这一基本机理出发原理更加明确，分析精度更高。

2) 通过实验数据和有限元法等分析验证，本文提出的基于剪切变形规律的翘曲位移函数的有限梁段法分析箱梁剪力滞效应具有较高的精度。适用分析和计算任意变截面多跨箱梁的剪力滞效应，且降低计算工作量。

3) 分析变截面连续箱梁在中跨跨中集中荷载和满跨均布荷载作用下剪力滞系数沿梁长和典型截面的分布，其结果与变分法解析结果吻合良好，为更加复杂桥梁形式分析剪力滞效应提供参照。由于计算公式简单方便，可适于各种边界条件和荷载工况下的箱梁剪力滞效应分析。

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