吊链脱离速度的二次研究

陆少华

(安徽省砀山中学,安徽 宿州 235300)

1 问题及背景

图1

题目.一个长为L的链条,放在光滑的桌面上,其中一端下垂,长度为a,如图1所示.假定开始时链条静止,求链条刚刚离开桌边时的速度.

在观摩课上,授课教师在解题方法指导时指出:随着链条下垂长度的增加,链条系统的合力和加速度均发生变化,所以不能使用牛顿动力学方法和动能定理的方法来解此题.因此应用系统机械能守恒便成为唯一解题途径.

常规解法： 链条在下垂过程中由于只有重力做功,故系统机械能守恒.设链条单位长度质量为λkg/m，取桌面为零势能面,链条系统初机械能为

链条系统刚脱离桌面机械能为

其中v为链条系统刚脱离桌面时的速度.

根据系统机械能守恒,有E1=E2，解得

2 二次研究

2.1 应用牛顿运动定律

设链条单位长度质量为λkg/m,某时刻下垂部分长度为y,其受重力G=λyg.

以整个链条为研究对象,根据牛顿运动定律,有F=ma.即

对上式积分有

2.2 应用动能定理

设链条单位长度质量为λkg/m,某时刻下垂部分长度为y,其受重力G=λyg,这是个变力.下落过程中,重力做功为

根据动能定理W=ΔEk，解得

2.3 拓展

图2

题目.若考虑桌面与链条之间有摩擦,设滑动摩擦因数为μ.试求链条离开桌面时的速度.

解析:设下垂长度为b时,链条刚好下滑.下垂部分的链条重力为G=λbg,桌面部分受摩擦力为f=μλ(L-b)g.链条下滑条件为G≥f解得

根据动能定理W=ΔEk，解得

从上面结论我们可以分析得出,若μ=0时,

此项分析检验出桌面粗糙变光滑,链条具有相同下垂长度时,它们具有相同的脱离速度.

4 结语

对链条脱离过程应用系统机械能守恒的处理方法是学生在高中阶段的惯用方法也是经典的做法.随数学新课程改革的实施,现在高中生已经初步掌握了微积分的知识，将微积分引入高中物理课堂解决实际问题是一个趋势，也是一个创举.借此开阔学生眼界、拓展学生思维、让学生透视数学与物理的紧密联系.