在折纸中透彻理解数学概念

裘陆勤

数学教材中的每个数学知识和数学概念都是由数学家们经过长期的发现、推理和证明而来的。随着学生年龄的增长和认知经验的积累，他们学习的数学知识和数学概念由易到难，由简到繁，整体水平成螺旋上升趋势。

为了让中低段学生在数学课堂上像数学家那样经历数学知识和数学概念的形成过程，我充分利用简单且有触摸感的纸，带领他们在思维碰撞中动手折出数学知识，透彻理解数学概念，感悟数学思想方法。

一、在折纸中观察角的形成，理解角的数学本质

在《数学辞海》中对角有两种定义：角的静态定义是指具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角的动态定义是指一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。

为了让学生更加全面地理解角的数学本质，我在教学人教版二年级上册《角的初步认识》一课时，先借助汉声绘本《折纸的几何》，让学生用一张纸折出直角、锐角和钝角，直观地理解角的静态定义；再利用剪刀等“动态角”生活素材帮助学生理解角的大小与两条边张开的大小有关，有助于学生比较角的大小。

师：同学们，这节课让我们跟着数学绘本《折纸的几何》一起来折一折。请你准备好一张纸，把这张纸随便折一次，你会折出一条直线。注意，不要把折好的纸打开。接着，把这条折线对折一次。（学生边折纸边观察）看看你会折出什么？是不是折出一个角？

生：这个角是一个直角。

师：请你仔细观察这个直角模型，你发现了什么？

生：这个直角最顶端的一点是“顶点”，还有直直的两条边。

师：用你折的直角模型，去跟我们身边的东西比一比，看看哪些是直角？

生1：我发现时钟上有直角，时针指着3，分针指着12，3时就是直角。

生2：我发现我们数学课本的这个角落、黑板的这个角落、门和窗的角落都有直角。

生3：我发现剪刀正好张开像这样的时候就是直角了。（借助手势比划介绍）

师：钟面上的3时、数学课本角落、黑板角落、门和窗的角落、剪刀张开的时候，它们的两条边有长有短，为什么它们都是直角呢？

生：它们的两条边虽然不一样长，但是两条边张开的大小是一样的，所以都是直角。

在这个教学片断中，我借助折一张纸不仅让学生更加直观地看到了各种不同大小的角，还促使他们借助手中的实物角作为参照物去比对生活中的角。在学生寻找同类角的过程中，我又进一步引导他们思考“为什么这些角都是直角”，从而触摸到“角的大小与边的长度无关，与两条边张开的大小有关”这一数学本质。

二、在折纸中认识轴对称图形，提炼轴对称的数学定义

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：学生在数学学习中应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。我在数学课堂上为了体现《课程标准》的教学理念，在教学人教版二年级下册《认识轴对称图形》一课时，先通过欣赏一组生活中的对称现象自然地引出轴对称图形，再组织学生借助一张纸折一折、画一画、剪一剪、说一说等活动创造出一些轴对称图形，加深学生对轴对称图形的直观印象。

师：同学们，刚才我们欣赏了树叶、蝴蝶、天安门等图片，这些都是对称的。接下来，我们要借助手中的这张纸自己来创造一个轴对称图形，你会怎么做？

生1：我会先把这张纸对折，然后在纸的其中一面画上半棵树，再用剪刀剪下这半棵树，展开就变成一棵完整的树了。而且这棵树的左右两边完全一样。

生2：我想剪一颗爱心。先把这张纸对折，再在对折后的纸上画半颗爱心，剪下半颗爱心后，打开就变成一颗爱心了。

生3：我想剪1个小人，首先把这张纸对折，再在对折后的纸上画半个小人，剪下这半个小人后展开就变成1个小人了，对折后又变成半个小人了。

师：大家真棒，有想法后就开始动手折一折、画一画、剪一剪吧，看看你剪出来的是什么图形？

（全班同学开始动手验证自己的猜想，并和同伴交流自己剪出的图形）

师：成功的同学请高高地举起剪好的图形来。像这样剪出来的图形都是对称的，它们都是轴对称图形，中间的线叫做对称轴。刚才我们剪出了1个小人，如果老师想要剪2个手拉手的小人，你会怎么折和怎么剪？

生4：我会把一张纸对折，再在对折后的纸上画一个完整的小人，还要注意手这里不能断开，剪下这个完整的小人后展开就变成2个手拉手的小人了。

生5：我还有办法，只要画半个小人就可以了。我把这张纸对折两次，就是对折后再对折，然后在对折后的纸上画半个小人，剪下展开后就变成2个手拉手的小人了。

在这个教学片断中，我带领学生从对称现象中领略数学美，从折和剪中提炼轴对称图形的数学定义。引导学生尝试剪从1个小人到2个手拉手的小人，再到4个手拉手的小人，既能让学生思考和运用轴对称图形的数学定义，又是培养学生动手能力的有效时机。

三、在折纸中折出不同分数，拓宽分数的数学内涵

选择用折纸来认识分数的目的在于纸不仅易准备、易操作、易观察，还在于折纸能更好地帮助学生理解分数的数学内涵、直观地比较分数的大小。在教学人教版三年级上册《认识几分之一》一课时，先从学生熟悉的整数的平均分入手，再引出平均分时每份不到“1”我们应该如何表示，从而介绍分数中的几分之一。在这样的教学过程中帮助学生体验分数产生的必要性，实现数域的拓展，为后续深入学习分数和小数知识奠定基础。

师：同学们，把4张纸平均分给2个小朋友，每人分到几张？（2张）把2张纸平均分给2个小朋友，每人分到几张？（1张）把1张纸平均分给2个小朋友，每人分到几张？

生：半张。

师：你能在自己的纸上折出来吗？

（有的学生在1张长方形纸上对折，有的学生在1张正方形纸上对折，有的学生在1张圆形纸上对折，有的学生在1张等边三角形纸上对折）

师：刚才大家都做了一个一样的动作——“对折”，就是说把一张纸平均分成2份，每份是这张纸的二分之一，写作（出示那你知道这些分数是什么意思吗？

在这个教学片断中，我通过分纸问题引发矛盾冲突，让学生经历分数的产生过程，理解分数的数学内涵，体会分数表示的优越性。学生从认识正迁移到认识其他几分之一的分数，在折纸创造分数的过程中将分数的“数”与“形”相结合，不仅拓宽了学生对分数概念的理解，还培养了学生的动手能力和创造性思维。

总之，学生在折纸过程中会从折纸模型中抽象出数学模型，从而经历数学知识和数学概念的形成、发展和运用过程，这样既能有效培养学生的动手能力和创造性思维，又能以数形结合的方式让学生更加直观地“看透”数学概念，为他们解决数学问题带来灵感，促进他们对数学知识的内化，最终提升他们的数学学习力、思考力和创造力。