他们是否因为粗心才算错——小学生发展性计算障碍的三种表现

林晶晶 孔企平

长期以来，很多小学生在数学学习中，尤其是计算方面，存在很大的困难。教师和家长往往都将学生看错题目、写错数字、计算结果不正确等问题简单地归因为审题不认真、粗心、注意力不集中等浅层的原因，并没有去关注小学生的思维发展规律，而是一味地加以批评指责。这不仅不能解决问题，更会给学生的心理造成严重的伤害，从此对数学的学习失去兴趣和信心。

近年来，随着脑与认知神经科学的蓬勃兴起，越来越多的研究表明，小学生计算错误是因为他们存在神经及心理层面的障碍，即发展性计算障碍。本文根据神经及心理层面诱发因素的不同，将小学生发展性计算障碍分为由知觉统合能力薄弱引起的书写操作障碍、观察力不成熟引起的视觉空间障碍和注意力不稳定引起的计算程序障碍三种表现类型，并结合相关案例分析，以期促进教师及家长正确、科学地看待小学生在计算方面产生的错误。

一、发展性计算障碍的概念

美国心理学家科恩于1968年首次提出“发展性计算障碍”，这一概念，引发了广大教育研究者的关注。发展性计算障碍大多发生在小学阶段，是小学生学习障碍的一个类型。这一障碍的产生不是由于学生对数学知识的掌握与认知的困难造成的，而是由于其知觉统合能力、观察力、注意力在小学阶段发展不成熟等神经及心理层面的客观因素造成的，所谓“发展性”就是指其计算障碍症状是有可能随着年龄的增长而得到克服的。

研究者对发展性计算障碍的界定虽然有分歧，但也达成了一定的共识，他们都认为这一障碍是不伴有智力缺陷的。美国精神医学学会认为，发展性计算障碍是与智力发展、生理年龄、教育水平不相一致的，是在数字理解和产生、数字操作和数字计算等数学相关的能力上发展滞后的一种缺陷。捷克心理学家科斯克认为发展性计算障碍主要是由遗传原因引起的，且不伴有一般智力的缺陷。以色列研究者沙莱夫领导的研究小组，建议修改科斯克对发展性计算障碍的定义，将其定义为智力正常的儿童在计算方面所存在的特异性障碍，这种障碍多是由遗传决定的。这也说明即使是智力发展正常，甚至是比较聪明的儿童，也有可能存在发展性计算障碍。

国外的研究者们分别从不同的视角对发展性计算障碍的表现类型进行了研究。英国研究者坦普尔认为发展性计算障碍有数字加工障碍、算术事实障碍、计算程序障碍这三种表现。德国研究者阿斯特认为发展性计算障碍也有三种表现，分别为言语型、阿拉伯数字型、弥散型。美国研究者吉尔里将发展性计算障碍划分为语义记忆障碍、视觉空间障碍和计算程序障碍这三种表现。笔者借鉴以上研究者的分类方式，根据神经及心理层面诱发因素的不同，将发展性计算障碍分为书写操作障碍、视觉空间障碍及计算程序障碍三种类型，在下文中结合Y小学低、中年级学生在测验、家庭作业中出现的计算错误案例进行分析。

二、发展性计算障碍的分类及案例

1.知觉统合能力薄弱引起的书写操作障碍。

书写操作障碍是指儿童在小学阶段，由于其知觉统合能力发展不成熟、薄弱所引起的计算错误。知觉统合的运作机制是儿童的感觉器官接受信息之后，将信息传达至大脑，大脑将之组合成为正确的信息后，指挥口头报告或动手操作进行输出。知觉统合能力薄弱在小学生计算方面一般表现为，计算时脑中得到正确的答案，而在书写答案的时候却出现了错误，也就是写出来的数与脑中想要写下来的数不一致。如果这样的学生没有检查和验算的习惯，就会很可惜地造成了计算错误。

这种类型的障碍从学生书面的计算过程难以判断，因此此处借助个别访谈的方法进行判断。

如图 1 所示，“6+49”的答案应为55，但学生A在计算后给出的答案是“5”。

图1

笔者：同学，你能说说“6+49”，你是怎么算出答案“5”的吗？

学生A：我将6拆分为1和5，1和49可以凑整为50，50加5等于55，那时算出来就是55，但写下来漏了一个5。

图 2为“155-78”的竖式计算。从其书面的计算过程可知，在计算程序上，学生B能正确地进行借位，但是在用减数的十位去减被减数的十位时，出现了错误。

图2

笔者：同学，你知道这道计算题哪个地方算错了吗？

学生B：答案应该是77，5被借走1后还剩4，不够7减，向百位借1，14减7等于7，但我算成了4。

笔者：为什么会写成4呢？

学生B：我那时候计算，向百位借1了，但也不知道为什么，不小心就直接把十位上剩下的4写下来了。

图3是一个递等式计算，在分步计算中，学生C第一步先算除法，计算正确，但是在第二步的加法计算中，该学生在对两个加数的百位进行相加时出错了。

图3

笔者：同学，你能告诉我“209+108”你是怎么算的吗？

学生C：209+108，先看个位上的数，9加8等于17，满十向十位进1，个位上的数为7；然后看十位上的数，十位上0加0加1，十位上的数为1；再看百位上的数，百位上2加1是3，最后答案应该是317。

笔者：那你的答案是417呀。

学生C：我不小心写错了。

从以上三位学生在访谈中的表现及口头报告内容可知，这三位学生计算时脑中计算思路清晰且正确，事后都认为是自己“不小心”或是“不知道为什么”写错了。可见，这就是手、脑不协调，知觉统合能力薄弱、发展不成熟的表现，也就是书写操作障碍。

2.观察力不成熟引起的视觉空间障碍。

视觉空间障碍是指儿童在小学阶段，由于观察力发展的不成熟，对数字与符号的辨别能力较弱、对空间信息加工不准确所引起的计算错误。例如看错数字、竖式计算中的空间排列错误、加减乘除的运算混淆等。

（1）学生在计算过程中看错数字的情况有很多，教师和家长往往会将其归因为审题不认真、粗心，但背后心理层面的原因是与年龄相匹配的观察力发展尚未成熟，这是符合心理发展规律的现象。这种情况多出现在多位数的计算中，可分为三类，其中最常见的一类是当一个三位数的不同的数位上存在相同的数字时，学生非常容易将数字所在的数位看错，例如三年级的学生容易将“353”看成“535”、“255”看成“525”、“663”看成“633”等，这种情况并不是个别现象；第二类是把一个多位数不同数位上的数字的顺序看反，这种情况多出现在十位和个位上，如将“5289”看成“5298”，将“3952”看成“3925”等；第三类是对多位数中形近数字的混淆，如将“1179”看成“1779”，因为“1”和“7”在字形上比较相似。

（2）竖式计算中的空间排列错误，例如，在123×13的竖式计算中，将乘数中的数字“1、3”分别与被乘数中的数字“1、2”对齐；在375+29的列式计算中，将加数“29”中的数字“2、9”分别与加数“375”中的“3、7”对齐。除法中的竖式计算错误是指没有将中间计算步骤中的计算结果放在正确的位置上，从而导致计算错误。

（3）加法与乘法的混淆运算便是难以分辨加法“+”和乘法“×”符号，由于其相似度极高，学生很容易将这两种符号混淆，这种现象在初步接触乘法的二年级学生中尤为常见，也是一种知识的负迁移现象。例如，很多学生学习了乘法，记住乘法口诀表之后，反而会在加法的计算上出现错误，如2+3=6。反过来，加法也会影响乘法计算的正确率，如2×3=5。在一些特殊的例子中，如图4、图5所示，很多学生会将“÷”看成“×”或“－”，这些都是起因于学生的观察力发展尚未成熟，对运算符号的分辨能力较弱，再加上对原有的知识结构进行改造的能力也比较薄弱，就很容易出错。

图4

图5

3.注意力不稳定引起的计算程序障碍。

计算程序障碍是指儿童在小学阶段，由于关注问题的持久度较低，注意力集中的时间较短及其不稳定性所引起的在计算程序上发生的错误。计算的程序性知识由解决多位数计算问题所必需的算法构成，涉及到加减乘除等混合运算，需要儿童高度集中的注意力才能顺利、正确地完成计算。此外，每一条运算法则都是经抽象概括后的结果，需要学生在计算的过程中运用分析、比较、判断等多种思维能力。但是整个小学阶段，儿童的思维水平尚处于以具体形象思维为主要形式，向抽象逻辑思维为主要形式的过渡阶段，这样复杂的运算程序难免会给部分发展较滞后的学生带来困难。这类学生主要在多位数的计算中出现错误，错误类型主要有借位错误、计算顺序错误、缺乏位值意识等。

缺乏位值意识的案例，例如，478+215=27（4+7+8+2+1+5=27）或68-5=13，前者是把加法问题中所有的数都加在一起，后者是用被减数的每个数与减数相减，这都源于学生缺乏位值概念；344-156=200，这是因为不知道借位运算，遇到不够减的时候，得数皆为0；253-138=125，这是不能够按照正确的计算顺序进行计算，由高位开始计算，不分减数与被减数，用大数去减小数。如图6、图7所示，同样的一个递等式运算，不同的学生均出现了计算程序错误，计算“94+208”时，图6案例的学生忘记向百位进位，图7案例的学生缺乏位值意识。图8的案例中，学生在算个位数上的和时用了乘法。尤其在乘法和除法的计算中，错误率更高，如图9的乘法案例中，学生在用7去乘万位上的4后忘记加上原来进位的2。

图6

图7

图8

图9

三、对教育的启示

对于小学生来说，计算是一个极其艰苦的过程，需要集中注意力，教师及家长不能简单地将学生的计算错误归因为粗心。经了解，上述案例中计算错误的学生，既有数学学业处于班级里中下水平的，也有数学学业水平很高、学习习惯很好的学生，但是他们在计算的过程中都会出现各种各样的错误。由此可见，知觉统合能力、观察力和注意力这三种能力的发展不成熟是儿童小学阶段的普遍发展规律，也是与其年龄相匹配的正常现象。但是，随着小学生年龄的增长，这三个能力的不断发展，到了高年级，大部分学生的计算错误情况自然而然会得到改善，计算障碍也会逐渐消失，这就是它的“发展性”。

数学教育的最终目标是立德树人，培养学生理性看问题的态度和精益求精的精神，而不是把全部的题目都算对。因此，作为教师，应该用科学、宽容的态度对待学生的计算错误问题，多一份耐心，多给学生一些时间，用发展的眼光去看待学生的数学学习，并及时地给予鼓励。同时，要注意区别学生的计算障碍和学习态度问题，具体问题具体分析，为学生提供科学合理的帮助。