数学多元表征：向学生的思维深处漫溯

席爱勇

所谓数学多元表征，就是指数学知识在人的心理活动中的多种表现和记载的方式，分为数学外在多元表征和数学内在多元表征两类。数学外在多元表征是指“需要学生理解和掌握的数学知识点，包括数学概念、命题和问题解决等；或数学陈述性知识、程序性知识和策略性知识等”数学学习对象的外在形式，主要有情境表征、实物表征、模型表征、图像表征、口语表征、文字表征、符号表征等多种形式；数学内在多元表征则指个体对于数学学习对象的意义赋予与建构，是数学多元外在表征的内化结果，包括言语表征系统即言语码和言语码组织（如命题、图式、CPFS结构等），心象表征系统即心象码和心象码组织（如视空间表征、心智模式等），以及两个系统整合的综合表征系统。

数学多元表征，不仅仅给学生提供多元化问题解决方案，更重要的是培养学生多样化思维方式和习惯，促进学生数学思维品质的全面提升。笔者尝试以苏教版五年级《解决问题的策略——列举》为例，让学生经历数学多元表征的过程，让列举策略向学生的思维深处漫溯。

一、从动作表征走向图形表征

对于解决像“用12个边长为1厘米的小正方形可以拼成几种不同的长方形？怎样拼周长最小？”这样的实际问题，学生最先想到的方法就是动手拼一拼。在教学中，教师要善于顺应学生的天性，不妨大胆放手让学生先拼一拼，积累丰富的感性经验，在此基础上引导学生逐步条理化和抽象化，一步步自然地走进问题的核心。

通过动手操作，有的学生能全部表征出拼成的长方形，但没有按照一定的顺序（如图1），有的学生只能部分表征出拼成的长方形（如图2）。

图1

图2

这时教师可组织学生通过小组交流和集体研讨，按照宽从小到大或按照长从大到小有序全部表征出拼成的长方形（如图3），教师还可以引导学生有序画出示意图（如图4），进一步抽象化，实现从动作表征走向图形表征。

图3

图4

二、从图形表征走向符号表征

学生在实现从动作表征走向图形表征的同时，教师还可以引导他们比较拼好的不同长方形，思考这几个长方形有什么相同之处和不同之处？学生很容易看出它们的面积相等，都是12平方厘米，因为都是用12个边长为1厘米的小正方形拼成的。学生还会进一步发现：拼成的长方形长与宽的积都等于12，因为长方形的面积=长×宽，3种形状不同但面积相等的长方形可以写出3道乘数不同的乘法算式：12×1=12，6×2=12，4×3=12。这样就把“用 12 个边长为1厘米的小正方形可以拼成几种不同的长方形”转化成“两个自然数相乘，积是12的乘法算式有几种”的问题，引导学生从图形表征走向符号表征。

当学生遇到“用100个边长为1厘米的小正方形可以拼成几种不同的长方形”时，学生自然就会想到用符号表征（列举算式）来解决问题：100×1=100（平方厘米），50×2=100（平方厘米），25×4=100（平方厘米），20×5=100（平方厘米），10×10=100（平方厘米），因此，用100个边长为1厘米的小正方形可以拼成5种不同的长方形。学生的数学思维也逐步实现从具体形象思维向抽象符号思维不断迈进。

三、从外在表征走向内在表征

《解决问题的策略——列举》教学最终要让学生形成列举的策略意识，就要把数学外在表征不断内化为学生的内在表征和自觉的数学思维方式。在教学中，教师可以通过改变数据，让学生很难通过书面一一列举，从而激发他们从书面列举走向在心里列举，实现从外在表征向内在表征的转化。例如，教师在引导学生完成“王大叔用22根1米长的木条围一个长方形花圃。有多少种不同围法？怎样围面积最大？”图形的书面外在表征（如图5）和表格的书面外在表征（如表 1）后，适时将数据“22”改成“220”，让学生产生很难在纸上画图和列表的认知冲突，这时教师可顺势引导学生在心里画图或列表，借助内在表征系统解决问题，不断提升学生内在表征水平，促进学生数学思维水平的深度提升，将解决问题的策略上升到意识和思维方式层面。

图5

表一

教学片断如下：

师：如果老师把“22根”改成“220根”，你还能很快发现有多少种不同围法？怎样围面积最大吗？

（有的学生动手在纸上画了一阵后发现围法有很多种，放弃；也有的学生用列表的方法写了一些数据后也发现围法很多，不想写下去了）

师：怎么愣在那里不画不写啦？

生1：围法太多，一时画不完、写不完。

师：那我们能不能在心里画或写呢？试着闭上眼睛在心里画一画、写一写、算一算。

师：谁来试着说一说你在心里怎么画的或想的？

生1：我在心里画一画、算一算：先用220÷2=110（米），长画109米时宽画1米，面积是109×1=109（平方米）；长画108米时宽画2米，面积是108×2=216（平方米）……长画55米时宽画55米，面积是55×55=3025（平方米）。一共有55种不同围法，长55米、宽55米时，长方形面积最大。

生 2：我在心里列表算：先用 220÷2=110（米），长109米、宽1米、面积109平方米；长108米、宽2米、面积216平方米……长55米、宽55米、面积3025平方米。宽从1米变到55米，所以，一共有55种不同围法，长55米、宽55米时，长方形面积最大。

从外在表征（图形、表格的书面表达）走向内在表征（图形、表格的心象表达），顺势将学生的数学思维水平从具体形象思维推向直观想象和抽象逻辑思维层次，有效提升学生解决问题的策略水平和数学思维品质。