吃一堑长一智

2018-04-25徐永军

初中生世界 2018年15期

关键词：钝角过点易错

徐永军

易错点1：未分类思考

例1 若一个点到圆上的点的最小距离为4cm，最大距离为10cm，则该圆的半径是____cm.

【错解】7cm.

【正解】3cm或7cm.

【错解辨析】有两种情况：（1）当此点在圆内时，如图1所示，半径OB=（PA+PB）÷2=7；（2）当此点在圆外时，如图2所示，半径OB=（PB-PA）÷2=3.故该圆的半径为3cm或7cm.所以求解点与圆位置关系时要注意分类讨论思想的运用.

图1

图2

例2 已知半圆O的半径为R，M为其直径AB上一点，过点M作PM⊥AB交半圆于点P，且，则AM=_______.

【错解辨析】本题没有图，所以要注意点M在半径OA上和在半径OB上的两种情形：（1）点M在圆心O与点A之间（如图3所示）；（2）点M在圆心O与点B之间（如图4所示）.

图3

图4

易错点2：对题意理解不清

例3 如图5，已知⊙O的直径为10，点P是⊙O内一点，且OP=3，则过点P且长度为整数的弦的条数是（）.

图5

A.1 B.2 C.3 D.4

【错解】C.

【正解】D.

【错解辨析】过点P且与OP垂直的弦的长度为8，它是最短的弦，只有一条；过点P的直径是最长的弦，长度为10，只有1条；过点P且长度为9的弦有2条.这样过点P且长度为整数的弦共有4条.错解的原因在于可能漏掉了最短的弦或最长的弦（直径）.

易错点3：考虑问题不全面

例4 平面上的A、B、C三点，若经过这三点作圆，则作出的圆有（）.

A.0个 B.1个 C.1个或0个 D.无数个

【错解】B.

【正解】C.

【错解辨析】由于三点可能在同一条直线上，也有可能不在同一条直线上，因此需要分情况加以讨论，即作出的圆有1个或0个.

例5 已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP=3，那么直线l与⊙O的位置关系为________.

【错解】相切.

【正解】相交或相切.

【错解辨析】错因：误将OP长当成距离.如图6所示，d=r；如图7所示，d＜r.直线与圆相切是指圆心到直线的距离等于半径，这里OP=3并不一定是圆心O到直线l的距离.

图6

图7

易错点4：不能准确根据圆的半径确定符合条件的圆的个数

例6 已知点A、B，经过A、B两点作圆，则半径为2cm的圆有_______个.

【错解】2个.

【正解】2个、1个或0个.

【错解辨析】本题应分为三种情况：（1）如图8所示，当AB＜4cm时，能作2个圆，圆心在AB的垂直平分线上；（2）如图9所示，当AB=4cm时，只能作出一个圆，圆心为AB中点，AB为直径；（3）当AB＞4cm时，不能作圆.

图8

图9

易错点5：对画图时的多种情况掌握不熟，从而丢解

例7 已知点O是钝角三角形ABC外接圆的圆心，则∠A与∠BOC的数量关系为____ .

【错解辨析】错解未弄清楚哪个角是钝角，如图 10所示，当∠A为钝角时，∠A=180°-OC.若∠ABC（或∠ACB）为钝角，如图11所示，BOC.解答此题的关键是把所有符合题意的图形画出来.

图10

图11

易错点6：求圆周角的度数时易丢解

例8 已知⊙O的半径为2，A、B、C为⊙O上的三点，且BC=23，求∠A的度数.

图12

图13

【错解】如图12所示，连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD，则BD=4.

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD=90°，

又∵BC=23，

∴∠D=60°，∴∠A=60°.

【正解】分两种情况讨论.（1）当点A在BC所对的优弧上时，如图12所示，连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD，则BD=4.

∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，

又∵BC=23，

∴∠D=60°，∴∠A=60°.

（2）当点A在BC所对的劣弧上时，如图13所示，连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD，则BD=4.

∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，

又∵BC=23，

∴∠D=60°，

∴∠A=120°.

综合（1）（2）得∠A的度数为60°或120°.

【错解辨析】很多同学只考虑了点A在BC所对的优弧上的情况，忽略了点A还有可能在弦BC所对的劣弧上.在同圆中，当一条弦所对的两个圆周角在弦同侧时，它们相等，在弦异侧时，它们互补.

易错点7：错用弧、弦之间的关系

图14

A.AB＞2AM

B.AB=2AM

C.AB＜2AM

D.AB与2AM的大小关系不能确定

【错解】B.

【正解】C.

【错解辨析】在⁀各选项中，AB与AM均指的是弦长，而“M为的中点”指的是弧的数量关系，两者不能一概而论.⁀

又∵AM+BM＞AB，

∴2AM＞AB，即AB＜2AM.

易错点8：忽视圆心与角的位置关系

例10 已知AB是⊙O内接正方形的一边，AC是⊙O内接正三角形的一边，则∠BAC=_______.

【错解】75°.

【正解】75°或15°.

【错解辨析】错解只考虑了圆心在∠BAC内部的情形，如图15所示，连接OA，OB，OC，因为AC、AB分别为⊙O内接正三角形和内接正方形的边，所以∠AOC=120°，∠AOB=90°，此时∠CAO=∠ACO=30°，∠OAB=∠OBA=45°，所以∠CAB=75°.而当圆心在∠CAB外部时，如图16所示，连接OA，OB，OC，则∠CAB=15°.解决此题的关键是弄清图形的不同情况，再利用正多边形的有关知识进行求解.