等价转化

曾卓杨

摘 要：通过等价转换实现把三元问题最终转化为二元问题，然后类似于线性规划问题的解题策略，借助于数形结合的办法解决一类在非线性约束条件下求目标函数的范围或最值的较为复杂的问题.

关键词：等价转换；类线性规划问题；转化策略；三元问题

数学学习过程中，经常会碰到一些不太熟悉，或者很难、很繁的问题，解决的办法就是需要联系已有的知识和原理通过对问题进行等价转化，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把很难的问题转化为容易的问题，把繁琐的问题转化为簡单的问题，从而使问题得以解决.可以说，数学解题就是一个不断进行等价转换的过程，最近在复习过程中就经常碰到一类含有三个量的，而且不全是线性的“类线性规划问题”，跟我们平时的线性规划问题有些类似，但又不一样，解决起来总感觉有些棘手，通过梳理，我发现有以下几种转化策略，可以使问题变得易于解决.

策略一：把其中一个量看做已知常量，把三元问题视作二元问题解决

例1：已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则 的取值范围为

这是一个三元问题，跟平时老师要求我们掌握的二元不等式表示平面区域的问题有点不一样，初看一眼显得有点束手无策，怎么办呢？我就想到老师经常强调，碰到不熟悉的问题时，尝试去将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，目前我们熟悉的是二元不等式表示的平面区域，注意到本题要求 的取值范围，不妨把a和b看做变量，设b=y，a=x，把c看做一个正常数，那么问题就转化为：已知正数x，y，c满足

，则 的取值范围为 .

这样一转化，问题的面貌焕然一新，它就变成了一道在二元约束条件下求二元目标函数的取值范围的问题，自然会联想到线性规划问题的处理策略.显然本题的目标函数就是我们常见的典型的斜率型问题.线而性规划问题最基本的求解方法就是图解法，只需准确地画出可行域问题就会迎刃而解.

由{y≥-3x+5cy≤-x+4c可得这部分的可行域为如图1，且x∈[ ，4c）.

而clny≥x+clnc可进一步转化为 ，

因为c是正数，所以可以构造函数 ，

显然f（x）在区间[ ，4c）上是单调增函数，因此可以作出约束条件 表示的可行域如图2.

令 =k，由图可知kmax=koA=7，而当直线y=kx与曲线f（x）=ce 相切于曲线BC段某一点时，k取最小值，设切点

，

则 ，可得x0=c，则kOP=e，故 的取值范围为[e，7]，切点P是否一定在曲线BC段上呢？为了消除这个疑虑，作直线x=c，如图，则M（c，2c），P（c，ec），N（c，3c），所以k的最小值就在P点取到，所以 的取值范围为[e，7].

策略二：对三元齐次型，两边同除其中一个变量，把两个比值看做两个变量，三元化二元

策略一是将三元问题从形式上看成二元问题，但本质上还是三元问题，但对于一些齐次的三元问题，还可以两边同除以其中一个变量，出现两个比值，只需把这两个比值看做两个变量就可以实现把三元问题转化为二元问题.

如例1，还可以在约束条件中的不等式两边都同时除以c.

转化为

再令 ，则问题就可以转化为：

已知正数x，y满足 ，则 的取值范围为 .

显然这个问题要相对熟悉，通过图解法很容易解决.

策略一与策略二相比较，都转化为典型的斜率问题，它的求解要涉及到导数等知识，知识的交汇和综合就得到完美体现，不同之处是前一种的转化显得直观，对我们而言后一种的转化显得简洁，但极具挑战性.当然，在不等式两边都同时除以a也可以解决.

例题2：在△ABC中，已知角A，B，C所对应的边为a，b，c，若2c2+ab≥kbc，求实数k的最大值.

这道题中，注意到a，b，c能作为三角形的三条边能构成三角形，可以列出一个三元齐次不等式 ，而2c2+ab≥kbc可以通过变量分离得到 ，因此，只需对约束条件的不等式两边同除以其中一个变量，再把两个比值看做两个变量，实现三元问题二元化从而转化为熟悉的问题.

解：由2c2+ab≥kbc得 ，在△ABC中

，即，

设 ，约束条件即为 ，作出可行域（如图3），

设 ，则 ，作 左右平移，当 与区域相切时取最值，

设曲线 与y=x+1相切于P（x0，y0），

则由

解得x0= -1，z= -1，

同理，曲线 与y=x-1相切时，得z= +1，即

所以k≤ -1，

因此，k的最大值为 -1.

当遇到条件关系比较抽象、复杂的问题时，常常通过等价转换，把问题转化归结为在已有范围内可解的问题，它的核心是化难为易、化生为熟、化繁为简，如果能把握住这道题的转化方向，找准突破口，那么我们在困难面前就不会显得束手无策，问题就会迎刃而解，因此，等价转化可以说是数学解题的“金钥匙”.