一边一角“圆”来完美

广东省广州市花都区秀全中学(510800) 李桃

本文探讨的“一边一角”问题,指的是在三角形的一个角、及其对边确定的情境下,研究某些量的最值问题.该类问题常作为客观题的压轴题出现,难度较大.本文精选出多个典型题,并给出的解答,以飨读者.

题1(2017届高三广州市模拟考试16题)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,则△ABC的周长的取值范围是____.

解析利用余弦定理,将2cosC+c=2b化简可得b2+c2−bc=1,所以cosA=.又因为a=1,符合“一边一角”的问题情境,借助外接圆直观分析.如图1所示,其中 ∠A1CB= ∠A2BC=90°,点P是优弧BC的中点,圆O是△ABC的外接圆.

图1

点A在弧A1A2上运动时(不包含A1和A2),满足△ABC是锐角三角形的要求.当点A在A1或A2时,周长取最小值,当点A运动到点P时,周长达到最大值3,因此锐角△ABC周长的取值范围为

题2(2014年全国1卷理16题)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC,则△ABC面积的最大值为___.

解析由a=2且(2+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC,即(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC,由正弦定理得:(a+b)(a−b)=(c−b)c,所以b2+c2−a2=bc,故,所以 ∠A=60°.此时,角 A及对边a确定,符合“一边一角”的问题情境.联想到图1.△ABC面积(ha表示边BC上的高),我们容易知道,当点A运动到点P时,ha最大为所以面积最大值为

题3在△ABC中,A=60°,BC=2,则BC边上的中线最大值为____.

解析如图2所示,其中D是BC中点,O是外接圆圆心,PD⊥BC,圆O是△ABC的外接圆,AD为BC边上的中线,AO+OD＞AD.所以,当点A运动到点P时,中线有最大值PD,PD=R+OD=

图2

变式在△ABC中,A=120°,BC=2,则 BC 边上的中线最小值为___.

解析如图3所示,其中D是BC中点,O是外接圆圆心,PD⊥BC,圆O是△ABC的外接圆,AD为BC边上的中线,AD+DO＞AO=R.所以,当点A运动到点P时,中线有最小值PD,PD=

图3

题4(2017届广州市高中毕业班综合测试(二)理16题)在平面四边形ABCD中,连接对角线BD,已知CD=9,,则对角线AC的最大值为____.

解析对角线要更长,则角A应该取锐角.如图4所示,圆O是△ABD的外接圆,,点 A在优弧BD(不包括端点)上运动.AO+OC ＞ AC.当点A运动到点P时,对角线有最大值PC,PC=R+OC.在 △ODC 中,cos∠ODC=.由余弦定理可得,OC=17,所以PC=27.

图4

题5(2016年河北省唐山市第二次模拟试题12题)在等边三角形ABC中,M为三角形ABC内一动点,∠BMC=120°,则的最小值是()

图5

解析△BMC的∠BMC及对边BC确定,所以其外接圆确定,.如图5所示,圆O是△BMC的外接圆,点M 在劣弧BC(不包括端点)上运动.延长AM交圆O于N,连接CN.易知 ∠ACM= ∠MBC= ∠ANC,又∠NAC是公共角,则△AMC与△ANC相似,故.显然,当CN 最大时,分式有最小值.可知,CN 最大值为2R,AC=BC,所以最小值为

本文所借助的外接圆,实质上利用的是正弦定理的几何意义.这样的解法可算得上是“神来之笔”.但是,我们要注意,直观分析的方法局限于解客观题.对于“一边一角”的解答题,可由正弦定理的代数变形,转化为三角函数最值问题.

[1]李桃.一道模拟试题的解法分析及推广应用[J].中学数学研究,2017,2(上).