析攻关之难 明破解之道—谈近年全国高考理科数学选择、填空题解题方法和技巧

广东省高州中学(525200) 李文聪

广东高考使用全国卷已经有两年了,相对广东卷而已言,考生对全国卷的评价就一个字“难”.师生对广东卷的基本认识是:各大题型的最后一题(第8题选择题、第13题填空题、第21题解答题)相对较难.然而,全国卷的“难”不再分布在每个题型的最后一题上,事实上,全国理科数学压轴题的难度相对广东卷而言是有所降低的.全国卷把这个“难”分散到了每一题中去,尤其是选择、填空题.这就使得相当一部分考生在解答全国卷的时候从第7题开始就望而却步了.针对这种情况,笔者对近年来的全国高考理科数学I卷的选择、填空题作了深入研究.本文笔者就如何节省解题力量,开发解题智慧谈点体会,求教于同行.

在此,笔者先引入两个概念:“解题力量”和“解题智慧”.解题力量是指解题的物质基础,包括数学知识与数学思想方法.解题智慧是指准确地认识问题和创造性地解决问题的能力.这两者呈反比关系.对于一道给定的题目来说,其难度是客观存在的,所投入的解题力量越大,所体现的解题智慧就越少,反之,所付出的解题力量越小,所体现的解题智慧就越大.那么,在解题时,我们应该节省解题力量,开发解题智慧.

解答数学选择、填空题既要注意“认真审题、先易后难、大胆猜想、小心验证”,又要坚持“小题小做,繁题简做、难题易做”的原则.这与解题力量的节省观念不谋而合.

下面笔者根据近年来的全国高考理科数学题型,谈谈这些方法在实践中的应用.

一.由因导果直接法

由因导果直接法就是从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论.

例1(2015全国卷I理科第10题)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )

A.10 B.20 C.30 D.60

析难本题的结构特点是多项式中有三项,而学生习惯是两项的,从而出现惧怕与厌烦心理,造成解题困难.

破解在(x2+x+y)5的5个因式中,2个取因式中x2剩余的3个因式中1个取x,2个因式取y,故x5y2的系数为

解法二的项,其中的项为,所以x5y2的系数为,故选C.

明道 运用直接法时,需要充分挖掘题设条件的特点,善用有关性质和已有的结论,加快得到结论.当选择项提供的信息对正确选择无多大帮助时,可以考虑运用直接求解方法.

二.执果索因排除法

执果索因排除法就是从结论、选项逆行考虑问题,去寻觅结论、选项成立的一些条件.由欲知确定需知,求需知利用已知,这样往往会收到柳暗花明又一村的效果.

例2(2012全国卷理科第10题)已知函数,则y=f(x)的图像大致为( )

析难本题是考生比较恐惧的函数图像、性质问题,运用直接法通过解析式确定函数图像较难,但根据函数性质结合选项图像运用排除法则显得简洁明快.

破解y=f(x)的定义域为{x|x＞−1且x/=0},排除D;因为

所以当 x ∈ (−1,0)时,f′(x)＜ 0,y=f(x)在 (−1,0)上是减函数;当x∈(0,+∞)时,f′(x)＞0,y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.排除A、C,故选择B.

明道排除法适用于定性型或不易直接求解的选择、填空题.当题目中的条件比较多,或能从题干确定的结论较多时,可先根据某些条件在选择项中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另外一些条件、结论在缩小的范围内找出矛盾,逐步筛选,直到得出正确选项.

三.特殊检验特例法

特殊检验特例法就是在解选择、填空题时,可以通过取一些满足题设条件的特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等进行验证.

例3(2017全国卷1理科第14题)设x,y满足约束条件,则z=3x−2y的最小值为____.

析难这道题比较简单,学生很快就可以找到如下解决问题的方法:

图1

这种推理过程严谨,但不足之处是很费时间,解题效率低下.

破解由线性规划知,z=3(x−2y)在可(行域的端)点取到,即最优解可能为A(1,1),,而

明道以上为线性规划中的最值问题(2015年全国卷1理数15、2012全国卷1理数14、2011全国卷理数13也是同类型题目),不等式组所表示的区域均包括了边界,此时用边界顶点直接代入则可以快速解决问题,大可不必严格推导.运用特例验证法时,要注意所选的特例、特殊值等一定要简单,且符合题设条件.

四.数形结合图解法

数形结合图解法就是在解选择、填空题的过程中,可以先根据题意,作出草图,然后参照图形的做法、形状、位置、性质,综合图像的特征,得出结论.我们深知“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石,二者在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可以相互转化,而数形结合正是在这一学科特点的基础上发展而来的.

例4(2013全国卷I理科第11题)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ).

A.(−∞,0] B.(−∞,1] C.[−2,1] D.[−2,0]

析难对学生来说本题的第一个难点是分段函数,必须考虑定义域,第二个难点是含有绝对值,两者同时出现使得学生思维受阻,想不到解决问题的方法.

破解由y=|f(x)|的图象知:①当x＞0时,y=ax只有a≤ 0时,才能满足|f(x)|≥ ax,可排除 B、C.②当x≤0时,y=|f(x)|=x2−2x,故由|f(x)|≥ax得x2−2x≥ax.当x=0时,不等式恒成立;当x＜0时,不等式等价于x−2≤a,因为x−2≤−2,所以a≥−2,综上可知:a∈[−2,0],选D.

图2

明道数形结合有利于分析题中的数量之间的关系,丰富表象,引发联想,启迪思维,拓宽思路,迅速找到解决问题的方法,从而提升分析问题和解决问题的能力.

五.信息迁移转化法

信息迁移转化法就是对于问题背景较新,信息量较大的考试内容,可以通过阅读、理解来把握信息的本质,抽象出其中的数量关系、数学模型,转化成为熟悉的内容求解.

例5(2017全国卷1理科第12题)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,···,其中第一项是 20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )

A.440 B.330 C.220 D.110

析难本题题型新颖,起点高,落点低,材料陌生,构思别致,思维量大,能更好地考查学生的阅读、理解、分析、提炼和创新能力.而考生缺乏抽象能力,数学意识淡薄,谈算色变,踌躇不前.

破解设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.设第n组的项数为n,则n组的项数和为,由题,N ＞ 100,令且n∈N∗,即N出现在第13组之后,第n组的和为,n组总共的和为,若要使前N项和为2的整数幂,则项的和2k−1应与−2−n互为相反数,2k−1=2+n(k∈ N∗,n≥ 14),即k=log2(n+3),所以n=29,k=5,则,故选A;

明道当我们面对一个复杂的问题时,将题目中的信息进行高度浓缩,提取精华,使问题的条件、问题更加明显,借与触发解题的灵感,畅通解题思路.利用信息正确迁移,走上光明之路.

六.联想成果检验法

联想成果检验法就是根据题目所提供的形状特征、数值特征、式子结构特征,联想到已得的一些重要结论(或经验)来快速解题.

例6(2014全国卷I理科第15题)已知A,B,C是圆O上的三点,若的夹角为___.

析难本题的特点是题干简单,而学生很难看出条件与问题之间的关系,无从下手.

破解因为,由向量加法的平行四边形法则可知O为线段BC中点,故BC为⊙O的直径,所以 ∠BAC=90°,所以的夹角为90°.

明道利用已知的模型、结论、性质、推论等等直接解决问题,可以节省大量的解题力量,比如三点共线,抛物线中的焦点弦|AB|=xA+xB+P等等,利用这样的结论可以提高解题效率.

七.趋势分析极限法

趋势分析极限法就是通过动态变化,或对极端取值来解选择、填空题的方法是一种极限化方法.在解选择、填空题中,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择、填空题的结果.

例7(2015全国卷I理科第5题)已知M(x0,y0)是双曲线上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若,则y0的取值范围是( ).

析难学生很容易就想到的方法是将M坐标代入曲线方程直接计算求解,但发现运算量大,而由于学生运算能力不强,容易出错.

破解从入手考虑,可得到以F1F2为直径的圆与C的交点M1,M2,M3,M4(不妨设M1,M2在左支上,M3,M4在右支上),此时M1F1⊥M1F2,,解得 |y|0则M 在双曲线的M1M2或M3M4上运动,y0,故选A.

例8(2015全国卷I理科第16题)在平面四边形ABCD中,∠A= ∠B= ∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是____.

析难本题涉及动点问题及四边形形问题使学生望而却步.

破解如图3所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合于E点时,AB 最长,在 △BCE 中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得,解得平移AD,当D与C重合时,AB最短,此时在△BCF中,∠B= ∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理可得,解得,所以AB的取值范围为.

图3

明道用极限法是解选择、填空题的一种有效方法,也是在选择题中避免“小题大做”的有效途径.它根据题干及选择项的特征,考虑极端情形,有助于缩小范围,计算简便,迅速找到答案.

八.构造模型发现法

构造模型发现法就是解选择、填空题时可以利用现场的实物如三角板、铅笔、纸张、手指等进行操作或利用纸模型进行演算演绎得到答案;也可以根据题目提供的规则演算最初的几个步骤,从而发现规律,归纳出答案的方法;还可以构造合适的模型帮助发现规律,特别是立体几何中的一些特殊几何体可以考虑通过切割或者补形解题.

例9(2014全国卷I理科第12题)如图4,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

图4

C.6

D.4

析难该题如果直接从三视图复原几何体直观图是非常困难的.

破解如图所示5,考虑利用正方体进行切割得到三棱锥DA=6,故最长的棱的长度为DA=6,选C.

图5

明道“能割善补”是解决几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形转化成规则图形,这样可以使问题得到简化,从而节省解题力量.

综上所述,全国卷的难度有所增加是需要客观看待的事实,相对以往的广东卷来说,全国卷考查的知识点更细,覆盖的知识面更广.选择、填空题的设计方面,考生基础显得更加重要,但要解答它们,往往又可根据题型特点归纳出一些方法技巧.当然,很多题目的解题技巧并不是孤立的,在实际的解题过程中可能是多个技巧、方法同时使用.因而,应对策略上,应该注意节省解题力量,因题选法,精准解题,点难题之顽石变成功之金子.掌握一定的技巧、方法,因题选法灵活解题固然重要,这也是本文的中心所在,但所有的技巧、方法都源于过硬的数学素养.通法通解是灵魂,巧解妙解是点睛.

数学常常在人们意想不到的地方存在着奇妙的联系,经过思考就有可能揭示规律,有所发现.解题无外乎就是“架起由已知通向未知的桥梁,桥梁承载着数学知识、思想、方法、技巧、能力”,正如罗增儒教授倡导的:谁也无法教会我们解所有题目,重要的是通过有限道题的学习去领悟那种无限道题的数学智慧.

[1]波利亚《怎样解题》.

[2]罗增儒,节省解题力量开发解题智慧[J],《中学数学教学参考》,2000年第11期.