利用分数样条模型求解分数阶线性微分方程组*

程建玲，　闫用杰

(1.郑州大学 西亚斯国际学院，河南 新郑 451100;2.江西科技师范大学 数学与计算机科学学院，江西 南昌 330038)

分数阶微分方程由于其在物理、工程、化学、控制、医学和生物学等领域的广泛应用而变得越来越重要[1-3].为了求解一般非线性泛函方程，尤其是求解分数阶微分方程，很多学者研究了多种技术.[4]为利用线性泛函变元求解广义微分方程提出了一种有效的算法.[5]为延迟积分微分方程提出了一种谱配置方法.[6]提出了指数近似法以获得延时微分方程的近似解.[7]基于分数阶微分方程数值解的 Bernoulli 运算矩阵提出了一种新的配置方案.[8]为解决半无限域上的分数阶微分方程提出了一种新的 Jacobi rational-Gauss 配置法.多项式样条函数在系统分析[9]、分数阶微分方程和分数阶时滞微分方程[10]中获得成功应用.

针对分数阶线性微分方程组的求解问题，本文提出一种利用缺插值思想求解分数阶微分方程的方法.运用分数阶样条模型来得到分数阶线性微分方程组的数值解，同时验证了提出方法的收敛性.

1　提出的方法

分数导数有许多定义，最常使用的是Riemann Liouville导数和Caputo导数.本文方法正是基于Caputo导数提出的.假设α>0,x>a,α,x∈R，则有如下几个定义.

定义1阶数α>0的Riemann-Liouville分数阶积分的定义为：

其中Γ为γ函数.

定义2阶数α>0的Riemann-Liouville分数导数的定义为：

定义3阶数α>0的Caputo分数导数的定义为：

由上面的定义容易得到：

1.1　方法描述

情况1假设定理1的条件满足p=4和α=0.5，则定义样条插值：

(1)

其中xk≤x≤xk+1,且k=0,1,…,n-1.

1.2　(1)的存在性和唯一性

令ST(x)和D1/2ST(x)在(0,1)上连续，则(1)存在且唯一.从ST(x)和D1/2ST(x)的连续性条件中可以得到：

(2)

(3)

1.3　误差界限

假设定理1的条件满足p=4和Dm·1/2ST(x)=Dm·1/2fi,i=0,1,…,n-1.

引理1以下估计对所有的k=0,1,…,n-1成立，

(4)

证明从(4)可以得出

其中xk

定理2的证明对于xk≤x≤xk+1和k=0,1,…,n-1，可以得到：

情况2假设定理条件满足p=5且α=0.5，则定义样条插值为：

其中，

则得出以下引理.

引理2对于k=0,1,…,n-1，有

其中xk

2　数值实例分析

用提出的方法求解一个分数阶线性微分方程组以证明其精度和性能，利用MATLAB执行求解过程.为了验证该方法的有效性，计算了精确解与数值解的绝对误差.考虑一个分数阶线性微分方程组：

表1　近似值与精确值的比较

其精确解为u(t)=t2+1，v(t)=t2-t.方程组的数值解和精确解如表1所示，从表中可以看出，数值解与精确解之间吻合度较高且误差逐步减小，验证了提出方法的收敛性是有效的.但随着t的增加，误差有所增加，这是因为t增加，u(t)和v(t)的值也会增加，这也就增加了具体的误差数值，但都在合理范围之内.

3　结　论

提出了一种求解分数阶线性微分方程的新方法，该方法引入了基于缺插值的多项式分数样条函数模型.案例计算分析表明，对于求解分数阶微分方程组，本文提出的方法具有可行性和高效性.通过设定参数并比较绝对误差，验证了方法的正确性和收敛性.

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