工业机器人运动学参数标定方法仿真

陆　艺，于丽梅，郭　斌

(中国计量大学 计量测试工程学院，浙江 杭州 310018)

评价工业机器人性能的两个重要指标包括重复精度和绝对定位精度.目前，工业机器人的重复精度很高，能够满足大部分场合的工程要求.而工业机器人的绝对定位精度偏低[1-2]，这限制了工业机器人更为广泛的应用.工业机器人的运动学参数是影响绝对定位精度的主要因素，因此获得准确的运动学参数是十分必要的.标定技术是获得准确运动学参数的重要途径之一.目前大部分企业采用开环标定法标定工业机器人[3-5]，该方法需要利用额外的精密仪器测量工业机器人的实际位姿，成本高且需专业人员操作，测量方法也较为繁琐.所以近年来，研究者纷纷开始对测量方法进行研究探索，对原有的测量方法进行优化改进，提出了闭环标定法，又称自标定，不需要额外的测量仪器，成本较低且操作简单.因此提出了一种基于几何约束的工业机器人运动学参数闭环标定方法，并用Matlab对该方法进行仿真.此方法将激光器安装在工业机器人末端执行器上，激光线瞄准远距离观测平面上一边长为L的正方形的四个顶点A、B、C、D.根据正方形的几何特性建立以运动学参数误差为未知量的方程组，采用最小二乘法辨识出运动学参数误差[6-8]，从而得到准确的运动学参数.此方法操作简单，成本低，正方形的边长易测量，精度能满足工程要求.

1　运动学模型

1.1　运动学模型的建立

运动学模型是工业机器人标定的基础，目前，D-H模型是应用最广的工业机器人运动学模型[9-10]，但当工业机器人存在两个互相平行的相邻关节时，D-H模型存在奇异性问题.为解决这一问题，提出了D-H模型与MDH模型相结合的运动学模型，即在平行或近似平行的关节间采用MDH模型[11-12]，在不平行的关节间仍采用D-H模型.则模型包括的运动学参数有：连杆长度ai、连杆扭角αi、偏置di、关节角θi、转角参数βi.

以研华LNC S6000型六轴串联工业机器人作为待标定工业机器人.根据运动学模型的建立原则，工业机器人坐标系关系如图1.

根据图1所建立的运动学模型及工业机器人的结构可确定工业机器人运动学参数的名义值如表1.

图1　工业机器人坐标系关系图Figure 1　Industrial robot coordinate diagram

序号ai/mmdi/mmαi/(°)θi/(°)βi/(°)1753459090+θ1-2270-090+θ2039009090+θ3-40295-90　0+θ4-500900+θ5-60102090+θ6-

“-”代表不包含此参数.

根据坐标变换步骤及原理可得D-H变换矩阵通式为

(1)

式(1)中：C代表cos,S代表sin，i=1,3,4,5,6.

由于二、三关节平行，所以采用MDH模型建模，则变换矩阵为

(2)

式(2)中：C代表cos,S代表sin.

采用D-H模型与MDH模型相结合的建模方法，则工业机器人的位姿矩阵为

(3)

式(3)中：n(nx,ny,nz)、o(ox,oy,oz)、a(ax,ay,az)表示机器人末端执行器相对于基坐标系的姿态向量，p(px,py,pz)为机器人末端执行器的位置向量.

1.2　运动学模型仿真

为验证工业机器人运动学模型的正确性，利用Matlab中的对所建运动学模型进行仿真[13-15]如图2.

图2　运动学模型仿真Figure 2　Simulation of kinematics model

随机取一系列关节角向量，将仿真得出的工业机器人位姿坐标与实际机器人控制器中的位姿进行对比，对比结果如表2.

根据表2可知，仿真位姿与实际机器人的位姿基本一致，验证了所建运动学模型的正确性.

表2　工业机器人位姿对比

2　工业机器人运动学参数标定方法

2.1　标定原理

采用基于几何约束的虚拟闭环标定法标定工业机器人的运动学参数.如图3，将激光器安装在工业机器人末端执行器上，使激光线的方向尽量与末端执行器的Z6轴重合，取观测平面与工业机器人基座坐标系的X0O0Z0平面平行，距离为R.工业机器人带动激光器依次瞄准观测平面上一边长为L的正方形的四个顶点A、B、C、D，并在每个顶点处保持足够的位姿.根据误差放大原理，当工业机器人带动激光器瞄准远距离观测平面上一点时，可得到较为精确的关节角值.根据“正方形四条边边长相等”以及“正方形对角线互相垂直”定理，可列出以运动学参数误差为未知数的方程.只要在每个顶点处保持足够多的位形即可建立足够多的标定方程，通过最小二乘法即可将运动学参数误差辨识出来.

图3　基于几何约束的虚拟闭环标定法Figure 3　Virtual closed-loop calibration methodbased on geometric constraint

2.2　标定方程的建立

工业机器人的运动学参数误差导致了末端执行器的位姿存在偏差，从而导致了激光点理论坐标与实际坐标间的偏差.如图4，当激光瞄准n(Xn,Zn)点时，由于运动学参数误差的存在，激光投影点的理论点m(Xm,Zm)与实际点n不重合，利用该偏差来建立标定方程.

图4　激光投影点理论点与实际点位置Figure 4　Theory and actuallocation of laser projection point

由于激光线与Z6轴理论上是重合的，所以激光线的方向向量为式(3)中的a(ax,ay,az)向量，末端执行器中心点p(px,py,pz)同时也是激光线上一点，则激光线在基座坐标系O0-X0Y0Z0下的空间方程为

(4)

式(4)中：(x,y,z)代表激光线上点的坐标.

由于激光线是投影在观测平面的，所以激光点坐标的y值皆为R，由此可得出激光在观测平面上投影点的二维理论坐标(Xm,Zm)：

(5)

由于激光投影点理论值与实际值之间的偏差主要是由运动学参数误差导致的，运动学参数误差包括

(6)

式(6)中：Δai为连杆长度误差、Δαi为连杆扭角误差、Δdi为偏置误差、Δθi为关节角误差、Δβ2为转角参数误差.

则激光投影实际点的坐标n(Xn,Zn)为

n=m+JΔx.

(7)

式(7)中：J代表激光投影点理论坐标对运动学参数所求的雅克比矩阵.

根据激光投影点实际值与理论值的偏差可知，当激光线分别瞄准观测平面上的四个顶点A、B、C、D时，在每个顶点处位形不变的条件下，同样存在着与每个顶点相对应的激光投影点理论值Ai、Bi、Ci、Di，坐标分别记为PAi，PBi，PCi，PDi.则A、B、C、D的坐标PA，PB，PC，PD分别为

(8)

参照图3，根据正方形的几何性质可得：

(9)

根据式(9)，由于运动学参数误差Δx很小，因此忽略其二次项得到标定方程：

(10)

只要在每个顶点处确保足够的位形以建立不少于运动学参数误差数量的运动学方程，即可通过最小二乘法求解出运动学参数误差.

3　仿真分析

3.1　标定方法仿真实验

首先预设运动学参数误差，预设值如表3.

表3　运动学参数误差预设值

以运动学参数预设值修正工业机器人运动学参数作为仿真机器人的实际运动学参数.采用Matlab对上述标定方法进行仿真，如图5.

仿真实验具体的步骤如下：

1) 控制工业机器人依次将激光瞄准四个顶点A、B、C、D，并记录激光点位于每个顶点处的工业机器人关节角.

2)计算激光点的理论坐标以及对应的雅克比矩阵以建立标定方程.

3)重复步骤(1)和步骤(2)，直到获得足够的标定方程.

4)用最小二乘法辨识运动学参数误差，从而得到准确的运动学参数.

3.2　实验结果及分析

按以上实验步骤进行仿真实验，根据获得的数据，利用最小二乘法求解标定方程组，得到运动学参数误差如表4.

表4　标定后的运动学参数误差

根据表3和表4可知标定前后的运动学参数误差之间相差10-2个数量级，根据记录的关节角及标定前后的运动学参数求出标定前后正方形的理论边长值与实际边长L间的长度偏差如图6.

图6　标定前后长度偏差对比Figure 6　Comparison of length deviationsbefore and after calibration

根据图6，长度偏差的标准差从标定前的2.258 6mm减少到0.499 8mm，绝对定位精度提高了77.87%，验证了此标定方法的可行性.

4　结　语

针对工业机器人标定中存在的价格昂贵、操作困难等问题，提出了基于几何约束的闭环标定方法来标定工业机器人的运动学参数.首先利用Matlab对所建立的运动学模型进行仿真，验证其正确性.其次，利用Matlab对该方法进行了仿真验证，通过仿真结果可知，工业机器人的定位精度提高了77.87%，说明此方法是有效的，从而为后续相关标定方法的实施提供理论基础.

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