三种RBF网络函数逼近性能对比及应用研究

伍 凯 ，贺正洪 ，张 晶 ，赵 敏

（1.空军工程大学防空反导学院，西安 710051；2.空军工程大学理学院，西安 710051；3.解放军93424部队，北京 102101）

0 引言

在工业控制实际中，许多被控对象的特性参数或结构会因负荷等因素的变化而发生改变。如何进行在线调整，使得控制系统具有快响应、高稳态等性能值得我们深入研究［1］。神经网络作为一种非线性统计数据建模工具，广泛应用于数据处理、参数优化等领域。以高斯基函数为作用函数的RBF神经网络是一种局部逼近的3层前向网络，其输入层到隐层非线性关联，隐层到输出层线性关联，与BP神经网络相比，能避免局部最优并具有学习速度快的优势，适于实时控制的实现［2］。文献［1，3］分别研究了基于两种不同结构神经网络的PID控制器设计问题。

本文首先采用RBF、模糊RBF和模糊GA-RBF神经网络逼近非线性函数；通过仿真，对比分析了3种不同RBF神经网络在具体函数逼近问题中的性能；在此基础上，设计了一种基于模糊GA-RBF网络的自校正模型，最后通过仿真验证了该模型的有效性。

1 三种RBF神经网络的结构分析

1.1 RBF神经网络分析

20世纪80年代末，J.Moody和C.Darken率先使用径向基函数方法，提出了神经网络学习的新手段。作为一种前馈反向传播网络，RBF神经网络包含输入层、径向基隐层和线性输出层。作为一种全局逼近的网络结构，与BP神经网络隐层使用Sigmoid函数值不同，RBF神经网络隐层采用高斯基函数为作用函数，其值在输入空间有限范围内非零，任何函数都可以通过一组基函数的加权和来近似。在神经网络结构中，可以将隐层单元的输出函数视作一组基函数，从而加权求和以逼进目标函数。图1为多输入单输出的RBF网络结构图［1］。

采用RBF网络对目标函数进行逼近的基本结构如图2所示。

定义E（k）为RBF网络逼近性能的度量：

采用梯度下降法，则输出权值、节点基宽参数及节点中心矢量的迭代过程可表示如下：

其中，η 表示学习速率，α 为动量因子 η∈［0，1］，α∈［0，1］。

1.2 模糊RBF神经网络分析

将常规的神经网络赋予模糊输入信号和模糊权值，构成模糊RBF神经网络，从而实现学习能力强的RBF神经网络与推理能力强的模糊系统的结合。图3为模糊RBF神经网络结构图，该网络包括输入层、模糊化层、模糊推理层和输出层4部分。输入层的各个节点直接与输入量的各个分量相连接，从而将输入量从输入层传到模糊化层，之后再通过与模糊推理层的连接完成模糊规则的匹配，在模糊推理层各个节点间实现模糊运算。最后，将输出层各个节点的加权和输出［4］。

采用模糊RBF网络对目标函数进行逼近的网络结构如图4所示。

取式（3）为RBF网络逼近性能的度量模糊RBF网络的学习算法如下：

调整输出层权值：

输出层权值学习：

式中，η 表示学习速率，α 为动量因子，η∈［0，1］，α∈［0，1］。

隶属函数参数调整：

隶属函数的参数学习过程：

1.3 基于遗传算法的模糊RBF神经网络分析

通过聚类方法确定模糊RBF神经网络基函数中心值时，网络的泛化能力较差。采用梯度下降法的网络训练结果稳定性较差。采用遗传算法可实现模糊RBF网络参数的优化。为提高网络的泛化能力及稳定性，文献［5］中将模糊RBF神经网络待定参数看作染色体，利用遗传算法解算参数的最优或次优解，将其结果作为模糊RBF神经网络参数的初值，采用梯度下降法动态调整网络各参数。

模糊RBF网络的可调参数包括隐层节点的中心、宽度和输出层权值。采用梯度下降法进行网络参数学习：

隐层节点的中心的更新公式如下所示：

基函数宽度的更新公式如下所示：

对输出层节点与上一层各节点的权值W采用上式进行调整：

为获取满意的逼近度，采用误差的绝对值指标作为参数选择的最小目标函数，即

式中，N为逼近的总步数，e（i）为第i步网络的逼近误差。

2 函数逼近性能对比分析

本文利用如下的非线性函数作为逼近对象：

输入 u（k）选取为 u（k）=sin（10πt）函数，采样时间为0.001 s。模糊RBF网络结构输入层2-模糊化层25-模糊推理层25-输出层1，网络初始权值取［-1，1］之间的随机数，中心矢量和高斯基宽向量的初值如下：

分别采用3种不同的RBF神经网络结构逼近非线性函数，仿真结果如图5～图8所示：

从图5可知，3种RBF网络结构都能够较好地逼近目标函数。从图6～图7来看，模糊RBF与模糊GA-RBF网络结构较基本RBF网络结构而言中间层的学习效率更高，能够在更短的时间内，得到合适的权值参数，达到较小的逼近误差。模糊GA-RBF运用遗传算法优化的模糊RBF神经网络，动态调整网络参数，克服了遗传算法局部寻优能力的不足。模糊GA-RBF的边缘效果最佳，RBF网络的边缘效果最差。同时，计算基本RBF神经网络结构的敏感度Jacobian信息可知，对于逼近对象，基本RBF神经网络结构的参数值调整能力在逐步下降。综上，模糊GA-RBF网络具有相对较强的函数逼近能力。在3种RBF网络结构分析对比的基础上，设计基于模糊GA-RBF网络的间接型自校正控制结构。

3 基于模糊GA-RBF网络的间接型自校正控制

间接型自校正控制是一种通过辨识器对系统未知参数进行在线估计，用调节器实现参数自动调整的自适应及实时反馈控制技术［6］。将模糊RBF神经网络待定参数看作染色体，利用遗传算法解算参数的最优或次优解，将其结果作为模糊RBF神经网络参数的初值，采用梯度下降法动态调整网络各参数，从而得到基于遗传算法的模糊RBF网络。将以高斯函数为隶属度函数的RBF神经网络结构作为自校正控制器，利用遗传算法动态调整网络的结构和参数，构成基于模糊GA-RBF神经网络的间接自校正控制系统［7］。

3.1 自校正控制算法

考虑被控对象：

其中u，y分别为对象的输入、输出，φ［］为非零函数。当g［］，φ［］已知，自校正控制算法为：

当g［］，φ［］未知时，使用经神经网络辨识器在线训练得到的估计值 Ng［］，Nφ［］代替 g［］，φ［］。此时，自校正控制算法为：

3.2 模糊GA-RBF自校正控制算法

采用两个模糊GA-RBF网络分别实现未知项的辨识，辨识器结构如下：

在模糊GA-RBF网络结构中，取输入为y（k），模糊化层中采用高斯基函数作为隶属函数，模糊推理层通过与模糊化层的连接来完成模糊规则的匹配，各个节点之间实现模糊运算，每个节点有输入信号的乘积为该节点的输出。最后，在输出层输出节点所有输入信号的加权和［8-9］。

网络的权向量为：

两个网络输出g［］，φ［］的估计值为：

其中，m表示神经网络模糊推理层的节点个数。

辨识后，对象的输出为：

取下式作为神经网络调整的性能指标：

综上，模糊GA-RBF神经网络自校正控制系统的结构如图10所示。

4 仿真及实验验证

采用模糊GA-RBF神经网络自校正控制系统对以下被控对象进行仿真验证：

取模糊GA-RBF神经网络结构为输入层1-模糊化层4-模糊推理层4-输出层1，首先将模糊RBF神经网络权值、高斯基函数等待定参数看作染色体，通过遗传算法解算最优或次优解，之后将其结果作为模糊RBF神经网络参数的初值，采用梯度下降法动态调整网络参数，仿真结果如下页图11～图13所示。仿真结果验证了模糊GA-RBF神经网络应用于自校正控制的可行性。

5 结论

在分析3种RBF神经网络结构特性及函数逼近能力的基础上，仿真分析了3种结构对一非线性函数对象的逼近效果。结果表明，3种RBF网络结构都能够较好地逼近目标函数，但模糊RBF与GA-RBF网络结构较基本RBF网络结构而言能够在更短的时间内，得到合适的权值参数，更早达到较小的逼近误差范围。在此基础上，仿真验证了遗传算法优化的模糊RBF网络能够在自校正控制中取得较好的辨识效果，从而可以改善系统的控制效果。

参考文献：

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［3］田一鸣，黄友锐，高志安，等.基于GA与CSA-RBF神经网络辨识的自适应PID控制器［J］.系统仿真学报，2008，20（17）：4618-4621.

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［6］曲尔光，刘春艳，刘文军.基于模糊神经网络的自整定控制系统的设计［J］.机床与液压，2004（12）：368-370.

［7］刘坤.基于遗传算法的间接自校正模糊神经网络控制［J］.组合机床与自动化加工技术，2009，37（8）：76-78.

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