天基平台弹道导弹参数似然估计算法

顾忠征，梁小安

（空军工程大学理学院，西安 710051）

0 引言

随着作战理念的发展，空天作战已不仅限于空域内武器对抗，对敌战略武器的拦截也是防空取胜的关键，其中超音速、高机动、多批次弹道导弹的跟踪成为一项重要的研究课题。传统的弹道目标跟踪技术研究中，文献［1-4］相继提出了基于模板匹配的弹道目标跟踪算法，可估计目标运动参数，然而需要庞大先验数据库作支撑；文献［5］研究基于迭代无味卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）的弹道目标跟踪，完成了单目标的状态估计；文献［6］提出了基于多假设跟踪的主动段弹道目标跟踪算法，精度较高，实时性较低；文献［7］提出了利用漂移瑞利滤波结合无迹变换实现了由于UKF的弹道单目标跟踪效果；文献［8-9］提出了不同扫描模式下基于随机集的多目标跟踪算法，完成了单星像平面内航迹延续。在前辈研究的基础上，针对集中式融合结构红外多传感器协同探测，提出了新型高精度、实时的多目标跟踪算法。

弹道目标速度大，受力情况复杂，状态变量维数大，运动方程及量测方程非线性程度较为严重，对跟踪算法实时性和精度要求高，尤其是多个弹道目标的跟踪。关于多目标跟踪，PHD的研究取得了较多的成果，如高斯混合PHD算法及其改进［10-11］，节约时间成本的快速PHD算法［12］，对杂波进行实时估计的PHD算法［13］，针对未知噪声的多噪声模型下的PHD算法［14］以及基于核密度估计的边缘粒子PHD算法［15］等。这些多目标跟踪算法从不同的侧面改善了PHD的性能，然而应用于弹道目标跟踪时会出现新的问题：1）高维状态变量增加会增加非线性滤波算法采样积分点偏差；2）集中式融合机构对信息处理实时性要求较高；3）部分参数估计的准确性对跟踪精度的重要性。对此，从非线性滤波和多目标跟踪两个方面进行研究，分析了无味粒子滤波（Unscented Particle Filter，UPF）、容积粒子滤波（Cubature Particle Filter，CPF）等经典非线性滤波算法的优缺点，提出了改进Sigma点采样方式和基于最大似然比的参数估计的PHD算法，简称为改进的粒子 PHD 滤波（Advanced Particle PHD，PA-PHD）。PA-PHD基于重力转弯加速度模型和角度信息实施弹道目标跟踪，将影响弹道的关键、未知参数-重力外合力加速度与速度比从目标状态中分离开来，用最大似然估计［16］更新关键参数值，针对非线性滤波问题引入限制Sigma点集［17］近似高斯函数的积分，为克服似然比整体过小导致积分点失效［18］的问题，提出了利用马氏距离平方根计算似然比的方案。

1 问题引出

真实的弹道导弹运动过程受力情况复杂，不利于实施目标跟踪。常用经典的高阶微分模型来拟合弹道，为使状态变量维数最小，引入重力转弯加速度模型，该模型一定程度上能够反映导弹真实运动过程［19］。假设目标位置矢量为r，速度矢量为v，对应的状态微分方程为：

其中，κ除重力以外的合力产生加速度与速度比值，恒定模型；μ=398 613.52 km3/s2为地球引力常数。

由式可知κ对弹道影响重大，该参数是未知的，其初始化估计值直接关系后续跟踪效果，将其作为状态变量参数会增加状态变量维度，暴露算法的缺陷。图1是以为状态变量，基于无味粒子 PHD（Unscented Par ticle PHD，UP-PHD）多目标跟踪最优子模式分配脱靶距离（Optimal Sub Pattern Assignment，OSPA），图中 δκ为κ初始化估计误差，仿真参数以及OSAP先增大后减小的原因在后续实验中会说明。对比可知，参数κ初始化估计误差较大时，UP-PHD算法失效，其实不仅是UP-PHD，后续会对比多种算法结果，多数存在这个问题。鉴于此，对目标状态变量降维，将κ视为待估参数并设计最大似然估计器（Maximum Likelihood Estimator，MLE），对κ及其误差进行估计。

考虑到坐标变换，状态转移模型为：

星载红外传感器只能获取目标方位信息，因此，量测方程为：

2 新型积分点采样

传统的非线性滤波算法中，EKF维度高非线性严重情况下Hessian阵和Jacobian阵计算量大，会增加算法复杂度；UKF和CKF积分点的选取有异曲同工之妙，积分点满足对称关系，实质是三阶均值、二阶方差的近似。与CKF、UKF不同的是，限制Sigma点的UT［17］算法忽视积分点内部的对称关系，引入并选择适当的参数值来调整积分近似值，对应的积分点组如下：

3 参数最大似然估计的PHD算法

3.1 基于最大似然估计的状态及参数预测

κ对弹道目标状态估计至关重要，为准确计算κ值，从目标状态的最大后验估计着手，设计了κ的最大似然函数估计器，原理如下：

对于非线性滤波算法而言，式（7）不存在解析解，需用非线性滤波算法实现：

nκ为采样粒子数；为状态转移概率密度函数为参数κ采样值，假设其先验分布估计为，则：

为提高状态估计精度，对每个粒子引入更新机制，再次应用非线性滤波算法，称之为粒子状态更新，定义积分点采样环节SPS（Sigma Points Sampling），则粒子状态预测及更新步：

1）粒子预测：

2）粒子状态更新：

实际操作中，式中存在似然比过小而被忽略放入缺陷，对此提出新的似然比计算公式：

3.2 高斯混合PHD

多目标跟踪算法中，PHD凭借未知数目条件下有效跟踪的优势备受关注［8，11］。方便于目标状态提取，利用高斯混合PHD对弹道目标进行跟踪。假设k-1时刻PHD

3.3 新型PA-PHD算法

忽略“衍生”，PA-PHD具体步骤实施如下页表1所示。

4 仿真校验

卫星及导弹参数设置见下页表2、表3。T0表示初次探测到目标时刻；Tr表示持续跟踪时间。

设置扫描周期2 s；目标生存概率PS，k=0.99，探测概率 PD，k=0.98；Q=diag（［103km 104m/s 103km 104m/s 103km 104m/s δκ］）；R=kron（eye（3），diag（v）2），v=［σu，σv］，角度量测误差为 100 μrad，试验中取杂波强度c=100，密度 ck由c监视区域决定，c取为3 000，p 取为 2。

表1 PA-PHD算法流程

表2 导弹发射参数

表3 卫星参数

图2、图3是不同δκ下4种算法的目标数目估计以及OSPA距离，结果取100次后平均值，其中OSPA距离在丢失目标后又趋近于零，这主要是由于OSPA参数c（选定为3 000）相对于整体误差较小的缘故，而非反应其跟踪精度高。CP-PHD无法调节积分点偏差，对系统模型有较高的精度要求，而实际弹道是由较为复杂的模型仿真得到并加之以高斯噪声，在实施跟踪时使用的却是简化的重力转弯加速度模型，因此，CP-PHD多目标跟踪效果较差。另外分析上述结果可知新型积分点采样方案是可行的，然而在某些条件下，其精度略低于UP-PHD算法，从图中可以看出，PA-PHD始终能够有效跟踪目标，对参数初始化估计误差不敏感，因为其自身可实时估计δκ，因此，滤波估计精度得以保障。图4是某此实验中各算法单步运行时间变化曲线。对比可知，PA-PHD相对于UP-PHD有时耗低的优势。CP-PHP由于丢失目标，后期运行时间接近为零，不具可比性。综上分析可知，PA-PHD在实时性和精度上都能取得较理想的效果。

5 结论

针对空天作战反导领域研究了弹道导弹的截获，结合仿真实际分析了该类型目标跟踪特点，在集中融合式多传感器协同下设计了参数最大似然估计的PHD算法，为反导提供了有利的信息支撑。主要创新点有：1）设计了针对参数κ三维极大似然估计器，能实时更新κ值及其估计误差，降低了状态变量维数，减小了积分点偏差，提高了多目标状态PHD预测精度；2）推导了减少Sigama点的HUT变换，减少了积分点数目，提高了PA-PHD实时性。

参考文献：

［1］李冬，易东云，程洪玮，等.低轨预警自由段弹道估计的多项式逼近算法 ［J］.国防科技大学学报，2011，33（4）：48-50.

［2］申镇，强胜，张寅生，等.单星无源探测弹道导弹射向估计新方法［J］.宇航学报，2011，32（7）：1451-1456.

［3］强胜，申镇，易东云.基于导弹动力特征的单星预警算法［J］.系统工程与电子技术，2011，33（10）：2234-2238.

［4］ZHANG T，AN W，ZHOU Y Y，et al.The trajectory tracking method in boost phase using thrust acceleration profile［J］.Journal of Astronautics，2006，3（27）：386-389.

［5］孙雷，李冬，易东云.基于迭代UKF的主动段弹道跟踪算法研究［J］.计算机工程与科学，2014，36（1）：121-125.

［6］TIAN K S，ZHANG F.Multi-target tracking algorithm of boost-phase ballistic missile defense［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2013，24（1）：90-100.

［7］LIU M，YU J G，YANG L，et al.Consecutive tracking for ballistic missile based on bearings一only during boost phase［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2012，23（5）：700-707.

［8］盛卫东，许舟，周一宇，等.基于高斯混合概率假设密度滤波的扫描型光学传感器像平面多目标跟踪算法［J］.航空学报，2011，32（3）：497-506.

［9］龙云利，盛卫东，徐晖.锥扫型光学传感器像平面多目标轨迹跟踪［J］.通信学报，2011，32（9）：123-128.

［10］熊志刚，黄树彩，赵炜，等.嵌入式容积粒子PHD多目标跟踪算法［J］.信号处理，2016，32（6）：676-683.

［11］VO B，PASHA A，TUAN H D.A gaussian mixture PHD filter for nonlinear jump markov models［C］//in 45th IEEE Conference on Decision&Control，2006.

［12］杨峰，王永齐，梁彦，等.面向快速多目标跟踪的协同PHD 滤波器［J］.系统工程与电子技术，2014，36（11）：2113-2121.

［13］李翠芸，江舟，姬红兵，等.基于拟蒙特卡罗的未知杂波GMP-PHD 滤波器 ［J］.控制与决策，2014，29（11）：1997-2001.

［14］WU X H，HUANG G M，GAO J.Particle filters for probability hypothesis density filter with the presence of unknown measurement noise covariance［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2013，26（6）：1517-1523.

［15］ZHANG L P，WANG L P，LI B，et al.Kernel density estimation and marginalized-particle based probability hypothesis density filter for multi-target tracking ［J］.Journal of Central South University，2015，22（3）：956-965.

［16］WANG X B，ZHANG H S，FU M Y.Collaborative target tracking in WSNs using the combination of maximum likelihood estimation and Kalman filtering［J］.J Control Theory Appl，2013，11（1）：27-34.

［17］赵光琼，陈绍刚，付奎，等.基于变尺度变换减少Sigma点的粒子滤波算法研究［J］.自动化学报，2015，41（7）：1350-1355.

［18］MAROULAS V，STINIS P.Improved particle filters for multi-target tracking ［J］.Journal of Computational Physics，2011，231（2012）：602–611.

［19］盛卫东.天基光学监视系统目标跟踪技术研究［D］.长沙：国防科学技术大学，2011.