混合系数线性模型参数的t-s-K估计
2018-04-18蔡择林江秉华
蔡择林，江秉华，蔡 齐
(1.湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002；2.泰康保险集团股份有限公司 稽核中心，湖北 武汉430000)
一、引 言
考虑如下混合系数线性模型：
z(t)=[x(t)]′a+[y(t)]′β
(1)
其中x(t)=(x1(t),x2(t)，…，xp(t))′、y(t)=(y1(t),y2(t),…,yq(t))′是t的已知向量函数，a是p×1的固定系数向量，β是q×1的随机系数向量，且β～(b,Σ)。
现对m个样品，分别在tij(ti1
(2)
这里的βi和εij分别是每个样品的随机系数和每次测量的误差，βi与εij独立，且：
若记zi=(zi1,zi2,…,zini)′εi=(εi1，εi2，…，εini)′
则可得：
zi=Xia+Yiβi+εi
(3)
设Ci=(Xi,Yi)，d=(a′,b′)′，ei=Yi(βi-b)+εi, 则式(3)变为：
zi=Cid+ei
(4)
进一步，记：
D=diag(D1,D2,…,Dm)
z=Cd+ee～(0,D)
(5)
混合系数线性模型在实际问题中有着广泛的应用背景，如经济分析、可靠性退化分析以及生物学等领域，因此对该模型的研究无论是从理论上还是从应用角度都是十分重要和必要的[1-2]。许多学者研究了该模型的参数估计[3-9]，基于模型(5)，庄东辰等人的研究给出了d的LS估计[3]，LS估计虽然无偏，但当系数阵接近病态时LS估计的均方误差过大，稳定性不好；针对此情况，许莹等提出了一种有偏估计，即s-K估计[4]，此估计包含了刘小茂等人提出的Stein估计[5]及陈静提出的岭估计[6]，并讨论了s-K估计优于这些估计的充分条件。本文利用压缩估计方法给出该模型的一类有偏估计，即t-s-K估计。注意到，s-K估计是t-s-K估计的特例，因此本文不仅进一步推广了许莹等人的相关结论，而且还研究了新估计的一些优良性质，并在一定条件下证明此类估计优于s-K估计。
二、新估计的提出
z=Lr+ee～(0，D)
其中L=CQr=Q′d
Q′C′CQ=Λ=diag(λ1,λ2,…,λg)
许莹等人给出了d的如下s-K估计：
(6)
其中s≥1称为压缩系数，K=diag(k1,k2,…,kg)≥0称为岭参数。
式(6)的典则形式为：
定义1对于模型(5)，d的t-s-K估计定义为：
(C′C+QKQ′)tC′Z
(7)
其中t≥-1称为根方系数，s≥1称为压缩系数，K=diag(k1,k2,…,kg)≥0称为岭参数。
易知，式(7)的典则形式为：
三、新估计的一些性质
(C′C+QKQ′)tC′DC
(C′C+QKQ′)t
(sC′C+QKQ′)-1-t
所以
=‖Q(sΛ+K)-1-t(Λ+K)tΛQ′d‖2
=d′Q(sΛ+K)-2-2t(Λ+K)2tΛ2Q′d
≤d′QQ′d=d′d=‖d‖2
=tr[(sC′C+QKQ′)-1-t(C′C+QKQ′)t
C′DC(C′C+QKQ′)t(sC′C+QKQ′)-1-t]+
‖[Q(sΛ+K)-1-t(Λ+K)tΛQ′-I]d‖2
=tr[Q(sΛ+K)-1-t(Λ+K)tL′DL(Λ+K)t(sΛ+K)-1-tQ′]+
‖Q[(sΛ+K)-1-t(Λ+K)tΛ-I]Q′d‖2
=tr[(sΛ+K)-2-2t(Λ+K)2tL′DL]+
‖Q[(sΛ+K)-1-t(Λ+K)tΛ-I]Q′d‖2
=tr[(sΛ+K)-2-2t(Λ+K)2tL′ML]+
σ2tr[(sΛ+K)-2-2t(Λ+K)2tΛ]+
‖Q[(sΛ+K)-1-t(Λ+K)tΛ-I]r‖2
其中M=diag(M1,M2,…,Mm)
定理3给定K=diag(k1,k2,…,kg)，其中
四、数值模拟
为了进一步考察所提估计类的均方误差的表现，下面进行Monte Carlo数值模拟，模拟中取p=1、q=2、m=2、n1=n2=4，且：
表1 t=-0.5时两种估计的均方误差模拟结果表
表2 t=0.5时两种估计的均方误差模拟结果表
参考文献：
[1]Rao C R.The Theory of Least Squares When the Parameters are Stochastic and Its Application to the Analysis of Growth Curves[J].Biometrika，1965，52.
[2]Swamy P A V B.Statistical in Ference in Random Coefficient Regression Model[M].New York：Springer-Verlage，1971.
[3]庄东辰，茆诗松.混合系数线性模型的参数估计[J].应用概率统计，1996，12(1).
[4]许莹，何道江.混合系数线性模型参数的一类新估计[J].数学物理学报，2013,33(4).
[5]刘小茂，茆诗松.混合系数线性模型参数的Stein估计[J].数学物理学报，2001，21(4).
[6]陈静.混合系数线性模型参数的岭估计[J].青岛大学学报，2007，20(2).
[7]刘小茂，张钧.混合系数线性模型参数的根方估计[J].华中理工大学学报，1997，25(3).
[8]蔡择林，江秉华.混合系数线性模型的几乎无偏岭估计[J].数学杂志,2013，33(2).
[9]金林.改进的Gompertz模型参数估计方法比较研究[J].统计与信息论坛，2016(9).
