潜艇推进轴系纵向振动模型与解析研究

徐达，韩保红，赫万恒，于金凤，李维锴

军械工程学院车辆与电气工程系，河北石家庄050003

0 引 言

潜艇艉部结构的非对称性会引起不均匀伴流场，螺旋桨在其中运转时，将产生非定常推力，并导致推进轴系产生周期性的纵向拉压变形，即推进轴系的纵向振动［1-4］。推进轴系纵向振动经推力轴承传递到艇体，进而产生水下噪声。随着潜艇在现代战争中扮演的角色日益重要，为了提高潜艇的声隐身性能，国内外学者对潜艇推进轴系的纵向振动做了大量研究［5-6］。

推进轴系纵向振动研究的基础是计算。学者提出的推进轴系纵向振动计算方法包括Holzer表算法、传递矩阵法和有限元法。秦春云等［7］采用解析法和有限元法对所建立的船舶轴系纵向振动动力学模型进行了计算。周瑞等［8］利用传递矩阵法计算了某型号船的推进轴系纵向振动，同时分析了推力轴承刚度和螺旋桨附加水质量对纵向振动计算结果的影响。张赣波［9］将有限元分析软件与理论分析相结合，对船舶主推进轴系纵向振动特性进行了计算。肖能齐［10］和李冰融［11］基于系统矩阵法开发了应用于轴系振动的计算软件。陈志刚等［12］基于均匀有限杆纵向振动计算方法，运用波分析（WPA）法对轴系模型的纵向振动进行了谐响应分析。

以往的研究分析大多采用离散模型，未能较好地描述推进轴系纵向振动能量的传播与分布，而连续模型可以解决这一问题。本文拟先基于实际推进轴系建立系统动力学简化模型，采用WPA法详细推导均匀轴系与阶梯轴系的纵向振动方程，根据推进轴系两端的边界条件以及各轴段之间的连续条件，分析潜艇推进轴系纵向振动特性。然后建立推进轴系有限元模型，通过有限元分析软件Workbench进行仿真，分析推进轴系纵向振动特性，并将理论值与仿真值进行对比，验证基于弹性波理论建立的推进轴系纵向振动动力学模型的准确性。最后推导推进轴系纵向振动固有频率的无量纲方程。

1 基于WPA法推进轴系纵向振动模型的动力学分析

1.1 推进轴系纵向振动简化模型

潜艇推进轴系主要包括推力轴、中间轴、艉轴、螺旋桨和法兰盘等部件。常规潜艇采用的直接传动的柴电推进轴系与输出端通常通过弹性联轴器联接。弹性联轴器的纵向刚度远小于推力轴承的刚度或轴系其他结构的刚度，故在研究推进轴系纵向振动时可不予考虑。螺旋桨的非定常推力通过推力轴承及其基座传递到壳体上。因此，在研究螺旋桨激励力引起的潜艇推进轴系纵向振动问题时，可以只研究推力轴承至螺旋桨之间的主推进轴系［13］。

本文对推进轴系纵向振动模型的简化方法如下：

1）螺旋桨的质量连同附连水质量作为1个集中质量点，集中在螺旋桨轴锥端的中间处。

2）推力轴承简化为质量—弹簧系统。

3）中间轴承和艉轴承主要起径向支撑作用，对轴系的纵向运动的约束较小，可以忽略不计［14］。

4）中间轴、推力轴以及艉轴按纵向刚度等效原则，简化为具有相同长度的若干阶梯均匀轴段。

简化的推进轴系纵向振动模型如图1所示。

1.2 推进轴系纵向振动动力学分析

在研究阶梯轴系模型之前，先分析任一均匀轴段的纵向振动，假设：

1）轴沿其长度方向是均匀的；

2）轴系的横截面在振动时始终保持为平面；

3）略去轴系纵向伸缩引起的横向变形，沿截面方向只有均匀分布的轴向力F(x，t)；

4）均匀轴系的纵向振动为微幅振动（图2）。

根据机械振动相关理论，分析微段x，得到均匀轴段纵向振动方程为

式中：u(x，t)为轴系纵向振动位移，是截面位置x与时间t的二元函数；η为材料的滞回阻尼比；为弹性纵波沿x轴的传播速度，ρ(x)为单位体积质量；E为轴材料的弹性模量；A(x)为横截面面积；q(x，t)为分布载荷；j为复数虚部符号。均匀轴段受分布载荷的作用做纵向振动。

若q(x，t)=0，不计入阻尼力和外力，则均匀轴系固有振动为

这是典型的一维连续波动方程，通常采用分离变量法求解。由欧拉公式得到解的基本形式为

式中：ωp为均匀轴系纵向振动的第p阶固有频率；，为均匀轴系第p阶纵向振动波数；Cp和Dp为纵向振动波幅系数。扩展到均匀轴系的强迫振动，可通过拉格朗日方程和振型展开定理结合振型正交性进行分析，在分析时应考虑不同边界条件下振型正交性表达式的区别。

图3为由n个均匀轴段组成的多阶梯连续轴系，其截面是变化的。为方便分析表达，我们对各轴段进行了编号，格式为1，2，…，n。以阶梯轴左端面为x轴坐标零点，各个均匀轴段的接触分界面位置标号为l1，l2，…，ln，如轴1和轴2分界面位置为l1，轴2和轴3分界面位置为l2，以此类推，其中阶梯轴左端面记为l0=0，右端面为ln，各面的横截面积用Ai（i=1，2，…，n）表示。

阶梯轴每一个均匀轴段在形式上是同步纵向振动的。为避免轴系纵向振动的能量在传递到分界面处时发生散失，本文直接利用分界面处的力和位移的连续条件，推导相邻的阶梯轴段纵向振动波幅系数的传递关系。

任意相邻轴段分界面处的位移和力满足的连续条件为

则传递关系为

式中：Ti为相邻均匀轴段纵向振动波幅系数的传递矩阵；ki为均匀轴系第i阶纵向振动波数。

同理，第n个轴段纵向振动波幅系数传递关系为

分析自由振动时，将边界条件代入后，轴1和轴n的纵向振动波幅系数满足如下关系：

式中，ai和bi为系数。

将式（6）代入式（7），整理得：

若要得到式（8）的非零解，其系数行列式的值必为0，即

式（9）是关于固有频率的关系式，可通过图解法来求解。

由于各个均匀轴段的波幅系数不同，直接通过模态展开定理来求解工作量较大，难以采用统一直观的表达式表示阶梯轴系的强迫振动，而直接求解则比较简单。阶梯轴系各均匀轴段的纵向强迫振动方程为

当激励为简谐函数时，阶梯轴系各轴段强迫振动响应的频率相同，即

式中，Qi(x)和Ui(x)为集中力作用下的第i阶强迫振动力和位移响应的幅值。将式（11）和式（12）代入式（10），整理得

式中，U＂为集中力作用下的第i阶强迫振动位移响应的幅值对轴向变化的二阶导数。

由Duhamel积分求解式（13），可得

式中：Yi和Zi是通过阶梯轴系分界面连续条件以及边界条件确定的常数；ξ为阻尼比。通常情况下，阶梯轴系集中受力，为便于分析，我们可以借助单位脉冲函数来表示，即

式中，δ(x-L)为单位脉冲函数。进而可得强迫振动响应为

若考虑材料阻尼，可将式（16）中的弹性模量E替换为复弹性模量E'。直接求解方法的优点是省略了在阶梯轴系复杂边界条件下对模态振型表达式的推导。

推进轴系两端的边界条件可表示为

式中：Mp为螺旋桨及附连水的质量；Mt为推力轴承质量；Kt为推力轴承纵向当量刚度。将螺旋桨激励力作为力的边界条件，得到主推进轴系螺旋桨处的边界条件表达式为

式中：m为螺旋桨桨叶数；ω为主推进轴系频率；Q'为激励力幅值。利用式（18）来校核主推进轴系在螺旋桨叶频激励力作用下的动稳态响应。将式（18）中的ω替换为谐次叶频ω'，即可得到谐次叶频激励下的稳态响应。然后，叠加主推进轴系频率和谐次叶频的稳态响应，求解螺旋桨激励力作用下主推进轴系的稳态响应。

2 推进轴系纵向振动有限元模型仿真分析

表1所示为某型号潜艇的推进轴系结构参数，建立的有限元模型如图4所示。螺旋桨及推力轴承作为集中质量单元布置在轴系两端，中间轴承与艉轴承用弹簧代替。有限元模型的网格划分如图5所示。施加边界条件进行模态仿真分析，前3阶模态分析结果如图6所示，变形云图可以表示推进轴系各点纵向振动的位移情况。文献［15］表明第1阶模态为参与推进轴系纵向振动的最主要的模态。现将前两阶模态的有限元模型分析结果与推进轴系理论求解值及实验测量值进行对比，结果如表2所示。由表可见，三者的第1阶固有频率接近，验证了建立的有限元模型在分析推进轴系纵向振动问题上的可靠性。

表1 模型结构Table 1 Model structural parameters

表2 推进轴系纵向振动固有频率对比Table 2 Comparison of natural frequencies of longitudinal vibration of the propulsion shafting

3 结构参数的影响分析

为了便于预测推进轴系纵向振动的固有频率，分析轴系的质量与螺旋桨的质量比和轴系的刚度与推力轴承的刚度比等参数对其的影响。在上述分析的基础上，进一步推导适用于推进轴系纵向振动第1阶固有频率的无量纲方程。

为减小工作量，将阶梯轴系简化成连续的均匀轴系，即左端为螺旋桨及其附连水的集中质量，右端为推力轴承质量且与船体弹性连接，中间为均匀轴，如图7所示。

中间均匀轴的尺寸可通过等效思想，由实际复杂轴系的质量及纵向刚度换算获得，得到等效面积Ad和等效长度Ld的表达式为：

式中：Li为各均匀轴段长度；Ai为各均匀轴段截面面积。通过表1中的参数，结合式（19）和式（15），求解得到上述模型的推进轴系纵向振动第1阶固有频率为14.93 Hz，与阶梯轴系解析值相比，误差较小。可见，通过上述简化模型对推进轴系纵向振动第1阶固有频率进行估算具有一定的准确性。

由边界条件关系式（17）推导出频率方程为

式中：A为横截面面积的特征量；L为轴段长度的特征量。进一步简化得到推进轴系纵向振动第1阶固有频率f的无量纲方程为

4 结 论

1）建立了潜艇推进轴系纵向振动连续体简化模型，基于弹性波理论，根据各轴段之间力和位移的连续条件，得到集中应力作用下的强迫振动响应；根据推进轴系两端的边界条件，得到推进轴系纵向振动的稳态响应，分析了潜艇推进轴系纵向振动的振动特性。

2）建立了推进轴系纵向振动有限元模型，并进行了仿真分析，结果表明，采用该模型得到的理论值与仿真值及实验测量值之间的误差较小，证明了简化模型的准确性，表明弹性波分析法可以较好地描述推进轴系纵向振动的传递特性。

3）进一步简化了阶梯轴系模型，通过等效思想转化为均匀轴，推导了估算纵向振动第1阶固有频率的无量纲方程，分析了对固有频率的影响，为推进轴系动态设计提供了参考，并为下一步进行推进轴系纵向振动的控制研究打下了理论基础。

参考文献：

［1］许运秀.船舶轴系纵向振动［M］.北京：人民交通出版社，1985.

［2］陈志坚.舰艇振动学［M］.北京：国防工业出版社，2010.

［3］赵耀，张赣波，李良伟.船舶推进轴系纵向振动及其控制技术研究进展［J］.中国造船，2011，52（4）：259-269.ZHAO Y，ZHANG G B，LI L W.Review of advances on longitudinal vibration of ship propulsion shafting and its control technology［J］.Shipbuilding of China，2011，52（4）：259-269（in Chinese）.

［4］周春良.船舶轴系振动研究［D］.哈尔滨：哈尔滨工程大学，2006.ZHOU C L.Vibration research on ship shafting system［D］.Harbin：Harbin Engineering University，2006（in Chinese）.

［5］CARLTON J S.Marine propellers and propulsion［M］.Bodmin Cornwall：MPG Books Ltd，2007.

［6］唐艾飞.船舶推进轴系振动分析研究［D］.武汉：武汉理工大学，2014.TANG A F.Vibration calculation of ship propulsion shafting［D］.Wuhan：Wuhan University of Technolo⁃gy，2014（in Chinese）.

［7］秦春云，杨志荣，饶柱石，等.船舶推进轴系纵向振动抑制研究［J］.噪声与振动控制，2013，33（3）：147-152.QIN C Y，YANG Z R，RAO Z S，et al.Study on sup⁃pression of the longitudinal vibration of ship’s propul⁃sion shafting system［J］.Noise and Vibration Control，2013，33（3）：147-152（in Chinese）.

［8］周瑞，江祎，管文生.船舶推进轴系纵振计算方法及影响因素分析［J］.中国舰船研究，2011，6（6）：17-22.ZHOU R，JIANG Y，GUAN W S.Calculation method of ship propulsion shafting longitudinal vibration and influencing factors［J］.Chinese Journal of Ship Re⁃search，2011，6（6）：17-22（in Chinese）.

［9］张赣波.船舶主推进轴系纵向振动主动控制方法研究［D］.武汉：华中科技大学，2012.ZHANG G B.Research on active control to longitudi⁃nal vibration of marine propulsion shafting［D］.Wu⁃han：Huazhong University of Science&Technology，2012（in Chinese）.

［10］肖能齐.大型低速机推进轴系校中与振动集成计算研究［D］.武汉：武汉理工大学，2013.XIAO N Q.The large low speed propulsion shafting alignment and vibration integrated computing research［D］.Wuhan： WuhanUniversityof Technology，2013（in Chinese）.

［11］李冰融.船舶轴系校中回旋和纵向振动集成计算软件开发研究［D］.武汉：武汉理工大学，2006.LI B R.Research and developing of ship shafting alignment，whirling and longitudinal vibration calcu⁃lation software［D］.Wuhan：Wuhan University of Technology，2006（in Chinese）.

［12］陈志刚，吴崇建，付爱华.WPA法在舰船轴系纵向振动分析中的应用［C］//2005年船舶结构力学学会会议论文集.舟山：中国造船工程学会，2005.

［13］谢基榕，吴有生，沈顺根.船舶轴系子系统力传递特性研究［J］.中国造船，2011，52（1）：80-89.XIE J R，WU Y S，SHEN S G.Transmission charac⁃ter of propeller excitation through shaft-line system to hull［J］.Shipbuilding of China，2011，52（1）：80-89（in Chinese）.

［14］杨成春.水下轴系—壳体耦合系统振动特性及结构优化分析［D］.上海：上海交通大学，2014.YANG C C.Vibration analysis of shaft-hull coupled system and its structure optimizing［D］.Shanghai：Shanghai Jiao Tong University，2014（in Chinese）.

［15］张赣波，赵耀.推进轴系纵向振动引起的艇体声振特性分析［J］.噪声与振动控制，2012，32（3）：155-158.ZHANG G B，ZHAO Y.Analysis of vibration and acoustic radiation of submarine hull induced by longi⁃tudinal vibration of propulsion shafting［J］.Noise and Vibration Control，2012，32（3）：155-158（in Chi⁃nese）.

［16］VASSILOPOULOS L，HAMILTON C F M.Longitudi⁃nal stiffness analyses for the propulsion shafting sys⁃tems of the polar class icebreakers［J］.Naval Engi⁃neers Journal，1980，92（2）：179-195.