如何培养学生的数学抽象概括能力

汪贤锋 李葵

数学是一门由易到难逐渐加深的学科，知识点很多，题型也很灵活，所以抽象概括能力显得相当重要。好的概括能力能把前后所学的数学知识串联起来，环环相扣，才不会出现知识漏洞，从而才能在千变万化的题目中提炼出所考查的知识点。

一、对概念和数学定理、公式要在理解的基础上记忆，即分离问题的核心和实质的能力

数学学科虽然是理科，但并不是一门不需要记忆的学科，相反它的概念定理相当得多。没有对数学定理等知识良好地记忆，抽象概括便无从谈起。例如，教学“垂径定理”时，我结合图形把这句比较拗口的定理用通俗易懂的语言这样描述：“过圆心的线段（即为原定理所说的直径）垂直于弦，则平分弦且平分弦所在的弧”，并把垂径定理的基本图案展示给学生并反复加以变式。以后应用垂径定理时，我就让学生从复杂图形中抽象出它的基本图案。事实证明，学生在这块知识点上用得非常好。再比如，教学“圆的定义”时，书本上的定义是：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。但如果学生不理解死记硬背非常困难。我就让学生抽象出这句话的主语为“点的集合”，我又问学生：什么样的点？学生再回答前面的定语，自然而然就理解记住了。这种抽象出中心词的概念教学法我经常运用。

对于一个数学概念，学生要先认识其特殊具体的形式，从具体感性的认识逐步过渡到对概念的本质认识，然后再运用概念解决问题，达到巩固和运用的目的，这样学生就能通过概念的形成过程逐步建立抽象概括的思维。

二、在教学中对数学知识进行温故加拓展，提高学生把本质的、非本质的东西区别开来的能力

抽象概括可以说是新旧知识相互作用的结果。所谓的温故而知新，温故是学生对以往知识很好的总结复习，而拓展是在知新后对数学知识的延伸，为以后的教学做好铺垫。例如，在教授“单项式乘以多项式”这一课时，就是对单项式乘以多项式的延伸，如果再延伸还有多项式乘以多项式，这三节课其实本质上是相同的，抽象出来的道理也是相同的。用循循善诱的方法引导学生拓展延伸，很好地培养了学生的抽象概括能力。

三、在类比和对比中培养学生在各类现象间建立联系的能力

数学的完整性和严密性使得很多数学结论和方法都具有相似性，因此在课堂教学中教师要充分利用这点采用类比和联想的方法才能让学生自己探索和发现许多新的结论或新的方法。例如，在教授“相似三角形的判定”时我就先让学生类比“全等三角形的判定”方法大胆猜想和联想，很多学生得出了比较令我满意的答案，最后我再和他们一起证明。再比如，我在讲“过直线外一点作已知直线的垂线”时（要求是尺规作图），开始学生大多不会做，我就提醒学生类比作线段的垂直平分线的方法，先以这个点为圆心任意长为半径画弧和已知直线两个交点，相当于把已知直线变成了一条线段接下来，很多学生就恍然大悟了。通过这种方法得出的结论不仅便于学生记忆，学生通过这些活动，不仅挖掘了自己的潜能，增强了学习的信心，提高了学习数学的兴趣，更享受到了成功的喜悦，为今后的创造性学习打下了良好的基础。

四、在教学中注重教学方式的灵活性和练习解题方法的多样性，多注重变式教学

提倡启发式教学，让学生自己去寻找解决问题的关键点，引导他们抽象出很多定理的基本图案，化复杂图形为简单图形，化难为易，这样能很全面地解决学生的困惑。由于初中生知识体系还没完整地形成，很多困惑会超出老师的预料，所以应鼓励学生自己去探索数学规律。例如，教学“概率只是表示可能性大小”一课时，我让学生展开一场抽奖比赛，让学生发现占的份数多的更容易被抽到。同时引导学生对概率进行概括，会让学生加深了理解，同时培养他们的概括能力。

在教学中注重讲解练习（特别是几何题）的多样性和变式教学，抽象概括是寻求数学知识本质的过程，只有通过多样性的练习才能确保对知识有全面的认识。例如，在讲解有关圆的题目时要求弦长，根据题目条件，多数学生用方程来解决，而我又提醒学生能否用相似解决，经过讨论应该是可以的。所以我就加以总结，用方程的思想和用相似都可以解决求线段长度的问题。为了使习题能更好地发挥其教学功能，解题教学应以启发学生积极思维为核心，不但要教给学生解题方法，并且要以问题为出发点对学生进行抽象、概括、联想、求异、探索能力等方面的思维训练，从而激发学生学习热情，提高学生思维能力的目的。

五、会把具体问题抽象成数学模型

数学应用能力是数学教学中的重要环节。因此，提高学生数学应用能力是提高解决问题的关键，在实际教学中应重视开展模型教学及数学建模能力的训练，在运用数学知识去解决实际问题时，首先要构筑实际问题的数学模型，然后用数学理论和方法去寻找结果，之后返回实际问题中解决问题，最后反过来促进数学思想、方法的形成。

例如，在二次函数的实际应用时，只要涉及求最值，我一般都让学生建立一个函数模型来解决，这样就能化难为易。还有在直角坐标系中求点的坐标也是依靠函数解析式来解决的。又如，在抛物线的对称轴上找一个点，使这个点到其他两个点的距离之和最短。这个问题实质上是用“最短路径”这个模型来解决问题。再比如，在用相似解决问题时我经常让学生会找“母子相似”的两个三角形的模型。就这样学生就会在不断的学习中逐渐从实际问题中培养出出色的抽象能力。

培养学生的抽象概括能力是一个长期的、艰巨的、循序渐进的过程，是需要师生共同努力的。在数学教学中教师要以学生为本，研究课堂教学，抓住教學学科特点，培养好学生的抽象概括能力，让学生打下扎实的数学基础，在数学知识的海洋中快乐地

遨游。

编辑 李琴芳