“自动控制原理”中的频率特性概念问题

2018-04-12崔建峰

电气电子教学学报 2018年1期

崔建峰，靳　鸿

(中北大学计算机与控制工程学院，山西太原 030051)

0　引言

频率特性是“自动控制原理”课程频域部分的一个关键且基本的概念，具有很强的实际物理意义。对这一概念的清晰理解有助于学生后续频域部分相关知识的学习与掌握。在众多“自动控制原理”课程的相关教材中，多数教材均将该知识点作为独立小节进行介绍，可见这一知识点的重要性[1-8]。

在频率特性这一知识点的传授过程中，笔者发现部分“自动控制原理”教材中对这一概念存在着定义不准确的问题，容易对学生后续知识点的学习与理解造成困惑[3-4,6-7]。本文将针对频率特性定义展开较为详细的讨论。

1　频率特性定义存在的问题

文献[3]是我校计算机与控制工程学院电气工程与智能控制专业长期选用的一本《自动控制原理》教材，该教材在讲述理论的同时侧重于实际应用，选材得当，内容详实，主要用于工业电气自动化专业的教学。本文以该教材相关内容为例来说明频率特性定义存在的问题。

在文献[3]第五章第一节的频率特性基本概念讲述部分中，是以RC电路一阶惯性系统为例，指出对于正弦电压输入：

u1=U1msinωt

(1)

系统所产生的系统稳态输出响应为

(2)

式中φ=-arctanτω。

并据此指出，“当电路的输入为正弦信号时，其输出的稳态响应(频率响应)也是一个正弦信号，其频率和输入信号的频率相同，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于ω”；然后根据这一特征，进一步提出若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并求它们的复数比，可以得到

(3)

式中：

接着，给出频率特性定义，“G(jω)是上述电路的频率响应与输入正弦信号的复数比，称为频率特性”。

这种频率特性定义也在文献[4]、文献[6]、文献[7]及其它一些教材中得到采用。如果通过严谨的数学理论推导，我们可以发现上述定义并不恰当。

对于RC电路系统的正弦输入信号式(1)的u1，通过欧拉公式可以得到其复数表示形式：

(4)

同理，可以得到输出稳态响应式(2)的u2的复数表示形式：

(5)

因此，电路频率响应与输入正弦信号的复数比应为：

(6)

显然，式(6)与式(3)并不等价。因此，将频率特性定义为系统输出稳态响应与输入信号的复数比显然是不恰当的。如果学生在学习过程中根据教材推导理解物理现象背后的数学含义，将会形成较大的困惑，尤其在应用输入输出函数形式求解系统频率特性时，将可能得到错误的系统频率特性结果。

2　准确的频率特性定义方法

(7)

则频率特性可以定义为系统正弦稳态输出信号的复数符号(复相量)与正弦输入信号的复数符号(复相量)之比。

通过该定义，我们就可以将输入输出信号的“复数符号”与数学中的“复数”定义进行有效区分，从而使学生关注到频率特性并不是输入输出信号数学意义上的复数比，而是有其特定的物理含义的，即针对特定信号(同频率的正弦信号)，通过采用更为简洁的记录方法，将信号约定表征为一种复数符号后的复数符号(复相量)之比。系统频率特性的实质仍然是系统本身的傅里叶变换形式，频域分析就是通过傅立叶变换反映出系统在频域空间中的特征关系；但这种特征关系有着一定的物理意义，系统频率特性中的“频率”与物理可实现的正弦信号频率保持着特定的联系。如果再结合一般函数傅立叶级数展开、傅立叶变换等概念，就使学生易于理解后续诸如转折频率、带宽等频域概念。