“线性代数”课程的探索和创新

牛大田，袁学刚，张 友

(大连民族大学 理学院，辽宁 大连 116650)

瑞典数学家Lars Garding在其名著《Encounter with Mathematics》中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”在自然科学、航空航天、工程技术和国民经济等众多领域中，涉及到的问题要么是线性问题，要么是非线性问题。然而，多数非线性问题最终也要约化为线性问题，进而借助线性代数的知识和计算机技术进行数值求解。“线性代数”作为理、工、经、管等专业的一门重要的专业基础课程，学生对线性代数知识的掌握、理解程度和应用能力，直接决定了后续课程的学习，对毕业后从事的工作也将产生重要的影响[1]。本文从“线性代数”课程的教与学中存在的问题入手，对该课程的教材知识体系建设、教学方法和手段等方面进行了一些有益的探索和创新。

1 “线性代数”教与学中的问题

1.1 教学中遇到的问题

(1)教材的知识体系问题。目前，国内的“线性代数”教材基本采用两种知识体系：一是以矩阵为主线，一是以方程组为主线[2]。目前使用最广泛的教材以矩阵为主线，多数教材的第一章“行列式”的内容都是基于“逆序数”进行定义和证明的，使初入大学的学生摸不着头绪，苦不堪言，从互联网上可以看到大部分学生对该类知识体系的吐槽。因此，针对不同层次的学生，“线性代数”教材到底采用哪一种体系，各教学内容之间的先后顺序该如何安排，哪些内容需要重点讲解，哪些内容可以一带而过，这都是需要研究的问题。

(2)教学方法和手段问题。“线性代数”课程涉及到大量的计算、推导，教师的板书量很大。如果全用板书，教师在黑板上一直“写写写”，不仅时间不够用，缺少必要的讲解，学生也提不起兴趣。现代化多媒体教学是对教学方法与手段的重要补充。但是，如果完全用多媒体教学，学生的思维根本跟不上教师的翻页速度，解题的连贯性也很难衔接起来，学习效果必然很差。因此，多媒体教学资源该如何利用、多媒体与板书的比例该如何协调等，一直都是该课程教学过程中需要解决的问题[3]。

(3)理论和实际相结合问题。“线性代数”是一门实用性非常强的课程，经济、金融、计算机、工程领域等相关学科，都需要大量的线性代数知识[4]。但是，在目前的教材中，关于各知识点的应用涉及的很少，甚至根本不涉及。同时，大部分教师都是数学专业出身，自身所经历的学习过程就是重理论、轻应用，且自身科研的方向很少能涉及到线性代数知识的具体应用背景和应用方式，课堂上自然也讲不出来。教材中不提应用，教师又讲不出应用，学生每天都是推导、证明、计算，慢慢就会丧失学习该课程的兴趣。因此，如何在讲授理论知识的同时，恰当地渗透其具体应用，是十分重要的研究课题。

1.2 学习中遇到的问题

(1)思维方式的跨越问题。几乎所有的高校都将“线性代数”课程安排在大学一年级开设。但是，大部分学生在学习“线性代数”时，还未完成从初等数学到高等数学的思维跨越，总是面临着许多困难，如学习“线性代数”时要用矩阵、向量的视角来看待问题，但是学生在初高中时的思维习惯集中于数量之间的关系，因此一接触到“线性代数”时，往往弄不清楚教材中的符号或量到底是数量、向量还是矩阵，学习效果很差，甚至放弃该课程的学习。

(2)各个知识点的衔接问题。与“高等数学”(或“微积分”)课程相比，“线性代数”的知识点相对较少，但是各知识点之间的联系非常紧密，如矩阵为方阵时，方程组有唯一解、行列式不为零、列向量组线性无关、矩阵可逆、特征值全不为零，这些结论都是等价关系，但分布于不同的章节，学生往往看不到这些知识点之间的联系。当然，线性代数知识是抽象化、公理化的表述，这一点自然也会造成学生学习时的困扰。

(3)学生的学习基础问题。大多数高等院校都面临同一个问题：招生生源分布于不同地区，教育资源和水平不均衡，学生的基础参差不齐。尤为突出的是民族院校，要求少数民族学生占在校生的60%以上。这些学校的很多学生来自于民族地区，甚至有些学生高考时的试卷和答题方式都使用的是本民族语言，这也为“线性代数”课程的教学带来了一些困难。

2 “线性代数”课程的探索和创新

2.1 教材创新

编写适合学生学习的“线性代数”教材，可以有效地提高该课程的教学效果。在综合国内外“线性代数”教材内容和体系的基础上，结合普通高校学生的学习基础，编写了具有自身特色的“线性代数”教材(已由科学出版社出版)[5]，并被列入普通高等教育“十二五”规划教材、大学数学汉英对照类规划教材。

(1)知识构架创新。线性代数的发展是从研究线性方程组的解开始，逐步发展和完善的。与传统的“线性代数”教材知识体系不同，以线性方程组为主线，把行列式、矩阵、向量作为研究线性方程组的一种工具来学习，变抽象为具体，便于学生理解课程的基本概念和基本原理，使学生对线性代数有整体的把握。将初等变换作为贯穿全书的计算工具，强调初等变换是矩阵的同秩变换、向量组的同线性关系变换、方程组的同解变换，将线性代数各章节的知识点非常紧密地联系在一起。这样的体系结构，符合线性代数的发展历史，同时也可以逐步地、有意识地引导学生从数量思维到矩阵、向量思维的转化。

(2)内容设计创新。教材内容设计上做到深入浅出，简明实用，淡化理论证明，努力做到在定义或定理之前都给出简单、具体的引例。此外，在章节和内容的安排上也做了精心设计，在保证教学内容以及学生考研需要的同时，对教材内容进行了必要的删减，对知识点的引入和联系进行了重新编排，例如行列式一章，并没有涉及逆序数这一概念，而是从二阶行列式推广到三阶、n阶行列式时，直接引入行列式按行、按列展开的计算公式，后续行列式的所有性质，都通过展开公式进行推导，并对例题进行了分类，在提供例题解答的同时，重点强调各类型行列式的计算方法。此外，教材的每节都安排思考题，每章都配备习题和补充题。思考题便于加深学生对关键知识点的理解；习题难度中等，面向所有学生；补充题则是面向考研或对线性代数有更高要求的学生设计的。通过这种安排，以满足不同层次和需求的学生的需要。

(3)双语改革创新。目前，不仅社会、经济等方面逐步进入国际化趋势，科学与技术方面也面临着国际化的需求。只有具有良好的外语基础和专业基础，才能够及时追踪和掌握国际学术发展动态。因此，双语教学有其必要性和必然性。但是，在双语教学过程中，并不是简简单单地采用英语授课或全英文教材这种传统方式，没有专业知识体系作为背景支撑，双语教学步履维艰，学生的学习很难达到理想效果。与传统双语教材相比，首次采用汉英对照的方式编写，内容详实，使学生在学习线性代数知识的同时，又能学习到专业词汇、专业语句良好的基础。

2.2 教学方式、方法、手段创新

(1)在教学中强调各知识点的应用背景。“线性代数”是一门实用性非常强的课程，精心准备了包括投入产出模型、种群模型、几何变换等大量的例子，通过这些例子引入线性方程组、矩阵、行列式、特征值与特征向量等教学内容，通过这种方式使学生掌握各知识点的应用背景，让学生知道学习这些知识不仅仅是理论上的需要，而且确实在国民经济各领域都有应用，提高学生的学习积极性和主动性，提高学习效果。

(2)在教学中贯彻初等变换这一主线。初等变换是“线性代数”各章节计算相关内容的主要方法。在授课时从行列式部分就开始引入初等变换的概念，并一直贯穿整个教学过程。通过初等变换这一主线，将行列式、线性方程组、矩阵、向量及向量组的关系、二次型、特征值与特征等教学内容有机地结合起来。通过这一方式，便于学生掌握各知识点、各类题型的计算方法和技巧，在此基础上进一步加深对理论知识的掌握和理解。

(3)在教学中坚持讲思路讲方法讲思维方式。通过集体备课，细致分析各例题，在授课时并不是简简单单地将答案告诉学生，而是从问题出发，一步步地去分析针对已知条件该采用哪种方法，为什么采用这种方法，各解题步骤间的联系和逻辑顺序。通过这种方式，使学生在解决线性代数问题和其它学科领域的问题时，不是手足无措，而是能自己分析、判断和使用合适的方法进行求解，提高学生的综合能力。

(4)在教学中贯彻算法设计分析的思想。“线性代数”与数值计算领域密切相关[6]。将课程设置在大一下学期，此时学生已学习了C、VB等编程语言，具备了一定的编程基础。授课时，在讲解完一些计算题的计算步骤后，尝试让学生自己编程实现初等变换并进一步将矩阵化为要求的结构形式，并通过让学生数值求解不同规模的线性代数问题，观察计算时间与问题规模之间的关系。通过这些尝试，培养学生的数值算法设计和分析能力，使学生在掌握理论知识的同时，提高对算法方面的重视。

(5)在教学中贯彻双语教学改革。大连民族大学一直鼓励和推进各专业、各课程的语码转换式双语教学模式改革。编写了汉英对照式双语教材，并通过板书和多媒体课件演示相结合的方式，与学生在专业知识以及双语学习方面进行实时的互动交流。另外、学校层面也每年举办学生英语论文、英文翻译等比赛，引导大多数同学参加，并评定等级，给予一定的物质和荣誉奖励。通过学校、老师、学生三方面的积极参与，提高学生的英汉互译、英文阅读和英文写作能力。

3 结 语

针对教师教学和学生学习“线性代数”过程中存在着一些问题和困难，在该课程教学改革中做了一些有益的探索，在教材编写和教学方法、方式、手段的改革方面进行了有自己特色的创新性的实践，取得了较好的效果。当然，随着时代的发展，课程建设的改革与创新还任重道远，还会与时俱进，在教学过程中以提高教学质量为前提，不断进行改革创新。

[1] 韩冰,李洁,杨威,等.线性代数教学改革中的几点探讨[J].高等数学研究，2013,16(4):72-74.

[2]周玲.“线性代数”课程教学点滴谈[J].大学数学,2005,21(4):30-32.

[3]孙艳.“线性代数”课程教学改革的实践与思考[J].长春理工大学学报(社会科学版), 2007,20(1):42-43.

[4]王海侠,孙和军,王青云.改进线性代数教学方法的几点想法[J].高等数学研究，2010,13(6):13-15.

[5]牛大田,袁学刚,张友.线性代数(汉英双语版)[M]. 北京：科学出版社,2017.

[6]陈怀琛.线性代数要与科学计算结成好伙伴[J].大学数学,2010,26(增刊1):28-34.