“勾股定理”基本图形美学赏析

张春华

[摘 要] “勾股定理”是代数与几何有机结合的典型例证，因此关于这一章的教学不仅仅是简单的知识的传递与接受，更重要的是要向学生展示几何知识点内容背后所蕴藏的美感.

[关键词] 勾股定理；基本图形；美学赏析；人教版

在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦，根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道，如果勾是三、股是四，那么弦就是五，后来人们进一步发现并证明了关于直角三角形三边之间的关系——两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理.

教学目标及重难点

1. 教学目标

（1）理解勾股定理的两种证明方法——毕达哥拉斯证法和赵爽的弦图证法；应用勾股定理解决简单的直角三角形三边计算问题.

（2）通过对直角三角形三边关系的猜想验证，经历从特殊到一般的探索过程，发展合情推理，体会数形结合的思想.

（3）在勾股定理的探索过程中感受数学图形的美感，增进数学学习的信心.

2. 教学重点

探究并理解勾股定理.

3. 教学难点

探索勾股定理的验证方法.

“勾股定理”基本图形之美

1. 勾股定理基本图形1

图1是勾股定理的一个重要的基本图形，表明了勾股定理的几何意义，即分别以直角三角形三边为边长作正方形，满足直角边正方形面积之和等于斜边正方形面积.

（1）形式之美

以上述基本图形为基础，继续向外作类似的几何图形，直角边正方形面积之和始终等于斜边正方形面积，持续向外作图，可以形成如图2所示的树状图形，即“毕达哥拉斯树”，又被称为“勾股树”，三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一. 根据所作的三角形的形状不同，重复作这种三角形的毕达哥拉斯树的“枝干”茂密程度就不同. 这些外在的形式给我们带来了强烈的视觉冲击以及美学感受.

（2）和谐之美

如果把图1中的正方形换为其他图形，勾股定理仍然成立体现出了几何图形相互转变的“和谐”之美.

如图3、图4，将正方形分别变成半圆形及等边三角形，仍满足s3=s1+s2 . 进一步进行推广，只要以直角三角形三边向外作相似的图形，这一结论都成立.

2. 勾股定理基本图形2

我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的《勾股圆方图注》. 在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形称为“中黄实”，以弦为边的大正方形叫“弦实”，所以，如果以a，b，c分别表示勾、股、弦之长，那么

c2=4·+（b-a）2，

则可得：a2+b2=c2.

统一之美——

图6是畢达哥拉斯证明勾股定理的示意图，显然后面的图形就是勾股定理基本图形2，证明方法如下：

作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再作三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是（a+b），所以面积相等，即a2+b2+4×ab=c2+4×ab，

整理可得a2+b2=c2.

图7是伽菲尔德证明勾股定理的示意图，证明方法如下：

以a，b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图7所示的形状，使A，E，B三点在一条直线上.

因为 Rt△EAD ≌ Rt△CBE，

所以∠ADE =∠BEC.

因为∠AED +∠ADE=90°，

所以∠AED +∠BEC=90°.

所以∠DEC=180°-90°=90°.

所以△DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于c2.

又因为∠DAE=90°， ∠EBC=90°，

所以AD∥BC.

所以ABCD是一个直角梯形，它的面积等于（a+b）2.

所以（a+b）2=2×ab+c2.

所以a2+b2=c2.

由此可见，基本图形集中了赵爽、加菲尔德等人的证明方法，三种证法闻名中外，异曲同工，三位数学家采用的方法都是面积转换的方法，参考图形也具备一定的相同点. 从古老的中国到20世纪的西方，数学家的思想结晶实现了统一.

3. 勾股定理数形结合之美

勾股定理的另一个重要意义就是实现了几何和代数的有机结合，可以将复杂的代数运算转化成直角三角形问题，下面以案例进行说明.

（1） 题干要求

已知：a，b，c，d都是正数，

求证：+>.

（2）思考分析

对于初中生来说，由于没有开始学习不等式的有关内容，因此想要用代数的方法进行证明是比较困难的. 根据题干中表达式的特征，联想勾股定理的有关内容，可以将题目进行转化，联系到勾股定理的证明过程. 证明时，可以先构造3个直角三角形，采用数形结合的数学思想进行转化，证明这一不等式. 在教学过程中，教师可以一步步引导学生转变思维，由纯代数向数形结合转化，在这个过程中体验数学的奇异美.

（3）解答过程

构造长为（a+b）、宽为（c+d）的矩形ABCD，E为长边AD上的一点，F为短边CD上的一点.

在Rt△ABE中，BE===，

在Rt△BCF中，BF===，

在Rt△DEF中，EF==，

在△BEF中，BE+EF>BF，

即+>.

结语

数学教育不仅仅要向学生讲授数学知识与数学思想方法，更要将数学蕴含的“美”感传递给学生，包含“美”的数学教学才是富有生机与活力的，数学学习过程才不会显得枯燥无味，学生会由于数学的神秘与丰富而积极主动地进行探究.

与此同时，数学的美不仅仅指代数学本身的数量关系以及空间关系，数学题的求解也能显现出其美感. 相比于机械求解，运用合适的数学模型与思想方法就能使得整个求解过程具备数学的美感，得到的结果就是“美”的，这样的解答方法也是激发学生学习数学的强大动力. 因此，不管是勾股定理还是其他内容，教师在教学过程中都要注意向学生灌输美学思想，让学生体会数学问题解决过程蕴含的“美”，激发学生学习数学的热情.