确定压裂裂缝部分闭合的现代产量递减分析方法及应用

严谨 程时清 郑荣臣 王树平 史文洋 张郁哲 李鼎一

1.中国石化石油勘探开发研究院；2.中国石油大学（北京）油气资源与探测国家重点实验室；3.中国石油大学（北京）

致密气藏储层致密，孔隙度和渗透率低，气井不能自然建产，需要水力压裂改善近井地带渗透能力。为了评价压裂效果、预测气井产量，开展压裂井的产量递减分析显得至关重要。

目前常用的气井产量递减分析方法主要有Arps产量递减分析以及现代递减分析方法。1945年，Arps［1］首先提出了传统的Arps递减曲线分析方法。随后Fetkovich［2］建立了一套类似于试井分析的双对数产量递减曲线图版拟合分析方法。90年代中期，Blasingame［3］引入了规整化产量和物质平衡拟时间来解决变井底流压问题。1998年，Agarwal［4］在Blasingame递减方法的基础上，利用不稳定试井分析无量纲参数来降低多解性。2002年，Pratikno等［5］通过图版拟合来确定压裂井裂缝与地层参数，预测产量变化。2011年，焦春艳等［6］建立了考虑人工裂缝长期导流能力变化的数学模型，应用数值模拟方法研究了模型的产量递减规律。2013年，郭建春等［7］将裂缝水平剖面假设为楔形，基于压降叠加原理和直接边界元法建立了拟稳定状态下楔形垂直裂缝压裂井产量预测模型。2016年，Huang等［8-9］针对这种裂缝部分闭合的现象提出了裂缝分段产液的试井模型，用裂缝流量的不均匀分布来描述压裂缝不均匀闭合特征。2017年，He［10-12］建立了多段压裂水平井不均匀产油试井模型，并提出了较详细的参数解释方法。

苏里格、大牛地等致密气藏大量试井解释和产量递减分析解释的裂缝半长远远小于压裂工艺设计长度，这种现象与压裂裂缝部分闭合导致的裂缝流量不均有关。本文考虑裂缝部分闭合和不均匀产气，进行了压裂井的产量递减分析方法研究。

1 考虑裂缝流量不均的压裂井产量递减模型

1.1 物理模型

均质地层中心一口压裂井，定产生产。设x轴为压裂缝延伸方向，z轴为直井井筒方向，如图1所示。原始地层压力为pi，综合压缩系数为Ct，地层孔隙度为φ，流体黏度为μ，有效厚度为h，地层渗透率为k，裂缝半长为xf，忽略裂缝宽度。

图1 考虑裂缝流量不均的压裂井物理模型Fig.1 Physical model in consideration of nonuniform flow rate in fractures for fractured wells

基本假设条件为：（1）储层上下具有封闭边界，水平方向上具有圆形封闭边界；（2）将裂缝分为n个部分，长度分别为xf1，xf2，…，xfn，由于裂缝部分闭合流量不均匀，流量分别为q1/2，q2/2，…，qn/2；（3）裂缝为无限导流裂缝，将每段裂缝视为流量一定的条带源；（4）只考虑流体从基质流向裂缝；（5）只考虑单相流体，忽略重力和毛细管力的影响；（6）存在圆形封闭边界，边界半径为re。

1.2 数学模型

定义下列无量纲量：

无量纲二维坐标

近井段无量纲裂缝长度

近井段无量纲裂缝产量

无量纲边界半径

无量纲时间

引入气体拟压力函数

无量纲井底压力

对无限大空间点源解积分得到无限大空间的线源解，再对无限大空间线源解积分得到无限大空间条带源解。对于顶底封闭，贯穿且垂直于整个储层的裂缝可看作是长为裂缝长度、宽为裂缝高度的条带源［12］。以裂缝段数n=2为例，即裂缝分为近井高导流能力裂缝段和远井低导流能力裂缝段，根据叠加原理对各个裂缝段产生的压力响应进行叠加，得到考虑裂缝流量不均匀的压裂井瞬时压力变化［13］

其中

当xD=yD=0时，即可得到井底瞬时压力变化。压裂液在地层中的残留情况以及地层压力降低等因素会导致裂缝闭合、导流能力降低。采用裂缝的表皮因数来表示附加的压力降。表皮因数记为S，代入式（8），得到考虑表皮效应的井底瞬时压力变化

拉氏空间下，圆形封闭边界对井底压力的影响表示为［14］

式中，I0（x）为零阶第一类修正贝塞尔函数，I1（x）为一阶第一类修正贝塞尔函数，K1（x）为一阶第二类修正贝塞尔函数。

根据叠加原理，拉氏空间下圆形封闭地层考虑裂缝流量不均的压裂井井底压力解为

Van Everdingen和Hurst等［15-16］指出，拉氏空间下定产压力解与定压产量解具有一定的代数关系

对式（12）进行Stehfest数值反演，得到真实空间下考虑井筒储集和表皮的压裂井井底不稳定产量解。依据Blasingame产量递减分析原理，可得到规整化产量qDd、规整化产量积分qDdi、规整化产量积分导数qDdid和物质平衡拟时间tcDd的表达式，进而绘制压裂井产量递减典型图版。其中，qDd=qDbDpss，对于无限导流裂缝井，bDpss参数与时间无关，是reD的函数［17］

2 典型图版及参数敏感性分析

根据Blasingame产量递减原理可得到规整化产量、规整化产量积分和规整化产量积分导数与物质平衡时间的关系，进而绘制裂缝部分闭合压裂井产量递减典型曲线，如图2所示。在不稳定流阶段曲线受参数变化影响较大，但在边界控制流阶段，各参数敏感性较差。下面主要分析储层边界半径reD、近井段裂缝长度xf1D、近井段裂缝流量q1D等参数对压裂井不稳定产量递减的影响。

图2 考虑裂缝流量不均的压裂井产量递减典型曲线Fig.2 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures

2.1 边界半径

假设近井段无量纲裂缝长度xf1D为0.4，近井段无量纲裂缝产量q1D为0.6，无量纲边界半径reD分别取10、50、100、1 000，其中reD=1 000接近边界无穷大的情况，绘制裂缝部分闭合压裂井产量递减典型曲线，无量纲边界半径reD的大小影响拟稳定流阶段的开始时间。如图3所示，虚线为不稳定流阶段特征曲线切线，无量纲边界半径增大时，规整化产量积分导数qDdid特征曲线在不稳定流阶段曲线切线斜率变小，说明递减趋势逐渐趋于平缓。

图3 不同无量纲边界尺寸产量下考虑裂缝流量不均的压裂井产量递减典型曲线Fig.3 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures for different dimensionless production rates at the boundary size

2.2 近井段裂缝长度

假设无量纲边界半径reD为10，近井段无量纲裂缝流量q1D为0.6，近井段无量纲裂缝长度分别取0.2和0.4，绘制裂缝部分闭合压裂井产量递减典型曲线。如图4所示，xf1D值越小，压裂缝闭合段越长，产量递减速率越快；裂缝部分闭合压裂井产量递减曲线位于常规压裂井产量递减曲线下方，早期线性流阶段产量递减速率低于常规压裂井30%～50%；拟稳态阶段后，2种模型的曲线趋于重合。

2.3 近井段裂缝流量

图4 不同无量纲近井段裂缝长度下考虑裂缝流量不均的压裂井产量递减典型曲线Fig.4 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures for different dimensionless fracture lengths near the well

假设无量纲边界半径reD为10，无量纲近井段裂缝长度xf1D为0.4，无量纲近井段裂缝流量q1D分别取0.4和0.8，绘制裂缝部分闭合压裂井产量递减典型曲线（见图5）。

图5 不同无量纲近井段裂缝产量下考虑裂缝流量不均的压裂井产量递减典型曲线Fig.5 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures for different dimensionless fracture production rates near the well

由图5可看出，q1D的敏感性与xf1D正好相反，随着q1D的不断增大产量递减速率加快；当q1D足够小时，不稳定阶段的早期线性流消失。因为q1D足够小表示储层向近井段裂缝几乎不供液，近井段裂缝相当于井筒的一部分，因此早期线性流特征消失，这也是与常规压裂井产量递减曲线的明显区别之一。

3 模型拟合方法

裂缝部分闭合压裂井产量递减曲线拟合分析步骤如下。

步骤1：计算物质平衡时间。

步骤2：计算规整化产量、规整化产量积分和规整化产量积分导数。

气井的规整化产量为

气井的规整化产量积分为

气井的规整化产量积分导数为

步骤3：在双对数图上分别绘制出规整化产量、规整化产量积分和规整化产量积分导数与物质平衡时间的曲线，同时将3组曲线与某一xf1D和q1D值的理论图版曲线进行拟合，使得每组曲线尽量都能获得较好的拟合。

步骤4：根据拟合结果记录无量纲边界半径reD，并计算出bDpss。

步骤5：选择一个拟合点，记录实际拟合点（tc，q/dp）M以及相应的理论拟合点（tcDd，qDd）M。若已知气藏厚度、综合压缩系数、井径，则可计算储层渗透率、表皮因数、井控面积、储量及闭合程度等参数。

通过以上参数解释的步骤可以编制历史拟合计算程序实现自动拟合，从而求出所需参数。在实际应用中为了提高拟合速度和降低拟合结果的多解性，在拟合之前需要进行初始值计算。先利用常规压裂井模型拟合出一个结果，将此结果作为近井段裂缝参数的初值拟合值，再给定近井段裂缝长度和裂缝流量一个梯度扰动进行计算，根据拟合误差确定拟合参数值。由于初始值给定范围合理，拟合速度和准确性能得到有力保障。

4 实例分析

利用裂缝部分闭合压裂井产量递减模型，对苏里格、大牛地气田的大批量气井进行了产量递减分析，选取其中一口压裂气井D1-1-24进行分析举例。该井于2004年12月27日完井，盒3气层（2 659.2～2 666.7 m，2 673.1～2 677.5 m）测井解释为孔隙度7.8%、渗透率0.93 mD、含气饱和度78%的工业气层，2005年3月对盒3气层进行射孔压裂作业，储层及流体等基础参数如表1所示。

表1 储层及流体等基础参数Table 1 Basic parameters of reservoir and fluid

绘制规整化产量、产量积分和积分导数与物质平衡时间的实际曲线，分别与常规压裂井Blasingame理论图版和本文模型产量递减典型图版拟合。通过多组xf1D和q1D理论图版对比发现，xf1D=0.4、q1D=0.6时的典型图版中，reD=5的曲线拟合效果较好，裂缝解释结果如表2所示，拟合结果如图6所示。

表2 本文递减模型与常规压裂井递减模型解释结果对比Table 2 Comparison of the results of the decrement model and the conventional fracturing well reduction model

图6中蓝色的曲线为常规压裂井模型的典型图版，红色的曲线为裂缝部分闭合压裂井产量递减典型图版，可以看出本文模型拟合效果比常规模型拟合效果更好。本文模型拟合近井段裂缝半长xf1=41.2 m，远井段裂缝半长xf2=61.8m，总裂缝半长达到103 m，与常规方法解释结果69.9 m相比，更符合压裂施工设计值（121 m）。因此考虑裂缝部分闭合压裂井递减模型与常规模型相比，可以确定压裂缝部分闭合后每段裂缝长度，可以更加准确地预测压裂气井产量变化的趋势。

图6 考虑裂缝流量不均的压裂井产量递减典型曲线拟合结果Fig.6 Fitting result of typical production decline curve of fractured well in consideration of nonuniform flow rate in fractures

5 结论

（1）考虑裂缝部分闭合情况，建立了压裂井在圆形封闭地层中的产量递减模型，通过Newman乘积及拉氏反演方法，得到压裂井不稳定产量解析解。

（2）在考虑裂缝流量不均的压裂井产量递减模型中，xf1D值的越小，裂缝闭合程度越严重，产量递减速率越快，井的产量越低；q1D足够小时，不稳定阶段的早期线性流消失。与常规压裂井模型相比，考虑裂缝流量不均的压裂井线性流阶段产量递减速率偏低30%～50%，进入边界控制流阶段后，两者递减速率接近。

（3）考虑裂缝部分闭合的压裂井产量递减模型解释的裂缝长度较常规方法解释结果更加符合压裂设计参数值，同时能够确定压裂缝部分闭合后每段裂缝长度，更加准确地预测压裂气井产量变化的趋势。

符号说明：

A为井控面积，m2；Bg为气体体积系数；Bgi为气体原始体积系数；Ct为岩石综合压缩系数，MPa-1；Cg为气体压缩系数，MPa-1；G为动态储量，108m3；h为气藏厚度，m；k为地层渗透率，mD；psc为标况下压力，MPa；pi为原始地层压力，MPa；pw为井底压力，MPa；ppi为原始地层拟压力，MPa2/（mPa·s）；ppw为井底拟压力，MPa2/（mPa·s）；pwD为无量纲井底压力；（pwD）t为无量纲井底压力响应；（pwD）b为边界对于井底的无量纲压力响应；q为裂缝总产量，m3/d；q1为近井段裂缝产量，m3/d；q2为远井段裂缝产量，m3/d；q1D为近井段无量纲裂缝产量；q2D为远井段无量纲裂缝产量；qDd为规整化产量；qDdi为规整化产量积分；qDdid为规整化产量积分导数；rw为井筒半径，m；re为泄气半径，m；reD为无量纲泄气半径，m；S为表皮因数；Sw为地层含水饱和度；Swi为原始含水饱和度；t为气井生产时间，d；tD为无量纲时间；tcDd为物质平衡拟时间；T为地层温度，K；Tsc为标况下温度，K；u为拉氏变换变量；xD为无量纲横坐标；xf为裂缝半长，m；xf1为近井段裂缝半长，m；xf2为远井段裂缝半长，m；xf1D为近井段无量纲裂缝半长；xf2D远井段无量纲裂缝半长；yD为无量纲纵坐标；Z为气体压缩因子；φ为地层孔隙度；μ为气体黏度，mPa·s。