从一道开放题管窥数学发散的思维基点

◎毕坤博

前言：在数学的学习过程中，我们除了需要重视对知识的了解与掌握，还应该注重对数学潜能的激发和数学思维模式的构建，对数学问题进行大胆的创新与实践。此外，我们应该重视对例题和课后习题拓展与训练，例如：条件和结论的转化等，从而使数学习题更具开放性与灵活性，进一步增强自身的发散性思维。

一、开放性题目

部分数学问题能够在经过两次变化之后，与原题保持一致，通常情况下，我们将这样的数学问题称为二阶回归变换。本文将以一道数学平面几何题为例，分析应该从哪几个维度培养自身的发散思维。

二、条件发散

从心理学的角度来讲，我们在思考问题过程中，往往习惯于探究问题的本源，并从特殊条件的角度，分析问题的结论。此外，数学家华罗庚曾说过“退，足够的退，退到最原始的地方，你将会海阔天空”，这与二阶回归变换的本质完全相同。从条件发散的角度，设计以下问题。

如果△ABC为直角三角形，BC为斜边，AD是该边的高，可知，AB·AC＝AD·BC。这一等式经常用于计算直角三角形的高，而且这一等式中的BC就是直角三角形ABC外接圆的直径。

三、解法分散

在解答数学问题时，必须注重对自身潜力的挖掘，包括对从多个维度对数学问题进行思考，并提出自己的见解；或者是对数学解题方法进行创新，进一步提升自己的创造性思维与发散性思维。在面对一道数学题时，我们需要从不同的层面去思考，全面分析问题的解决方案，从而使自己思维的变通性得到锻炼，更好地把握问题之间的有效联系。

在上边提到，要求证：AD·AE＝AB·AC。这一问题可以从三个角度进行证明，

解法1：从相似性的角度证明 AD·AE＝AB·AC。连结CE或者BE，通过证明△AEC∽△ABD或者△ABE∽△ADC，并根据相关定理，得到：AD·AE＝AB·AC。

解法3：从圆周角定理推论的角度证明，同弧与等弧所对应的圆周角相等。首先要延长AD，与直角三角形外接圆相交于点F。然后连结EF与EB（见上图2），可以推导出BC∥EF→BE＝CF→∠1＝∠2→△ABE∽△ADC→AD·AE＝AB·AC。

四、结论分散

从高中生的角度来讲，发散性思维要求自身在思考数学问题的过程中，能够考虑到不同的结果，并将思维进行全方位拓展，从而获得更多与题相关的信息。这样，自身的思维途径和方式才会更加多样性，而且也不仅限于得到最基础的结论。例如：，其实就是三角形任意一边的高于另外两边之积除以外接圆直径的商相等。这一结论可以用公式表示为

五、培养自身发散思维的具体策略

1．强化自身的探究意识，注重自身探究能力的提升 受到传统教学方式的影响，我们对一些数学定理、公式和结论的应用往往采取直接记忆的方式，但是这一过程中，我们难以了解数学相关定义的形成过程，而且自身的思维能力与创新能力得不到培养。所以在课堂学习过程中，我们必须重视教师针对问题构建自己的思维过程。以二项式定理的推导学习为例，首先将把（a＋b）2，（a＋b）3，（a＋b）4分解展开，其次观察这三个等式，利用前面学到的排列组合的知识对a和b的系数进行归纳，进而归纳出（a＋b）n的展开式。通过这样的方式，我们能够在自己的努力下，加深对二项展开式的理解，同时也锻炼了自身动手实践能力。

2．拓宽数学思维的视野，提升自身发散性思维能力 在高中数学学习过程中，很多学习思维固定化，思路过于狭窄，不利于对信息进行多方位、多角度、多层次的分析。作为一名高中生，我们必须对自己的思维模式进行创新，而且不能局限于常规的解题思路。

例如：已知实数X、Y满足X＋Y＋1，那么点g（X，Y）对应的运动轨迹应该是什么？复习圆锥曲线的过程中，我们在这个问题上，往往会采取简化方程的方式解决，但是通常是化简半天还看不出结果，而不去仔细研究此式的结构，进而可以看出点（1，3）及直线X＋Y＋1＝0的距离相等，从而判断出其轨迹为抛物线。这样的例子可以让我们从多方位、多角度的思维方式找出题目中的“变”和“不要”，从而使疑难问题简单化。经过这样的训练可以拓展自身的思维，并使发散性思维能力得到培养与提升。

结语：开放性试题最大的特点就是开放，利用这类题型培养自身的开放性思维具有非常重要的作用，能够锻炼我们从多个角度思考问题，还能够让我们增强自身对问题之间内在联系的探究与分析。为使自身的开放性思维得到进一步培养与提升，我们需要在平时的学习过程中，注重从多个维度进行思考，重视对解题技巧和方法的积累，并能够养成对零散知识进行整合的习惯，才能够灵活应用所学的知识，做到举一反三。文章从开放题，对数学发散思维的三个思维基点，即：条件、结论与解法，进行简单的分析，并在此基础上提出两条发散思维的培养策略，以期能够具有为高中生发散思维的培养提供一定的借鉴意义。

参考文献：

［1］卢养哩．实例探究如何在高中数学教学中培养数学思维能力［J］．黑河教育，2017（12）：25－26．

［2］赵思琪．数学发散思维能力的培养探究［J］．学园，2017（25）：81＋84．

［3］水莉莉，周霞．高中生数学发散思维培养过程中存在的问题及解决办法［J］．科教导刊（下旬），2015（05）：140－141＋169．