考虑浆液稠度变化的盾构壁后注浆扩散模型

周佳媚，刘欢，张迁，戴龙钦，曹国栋

(西南交通大学 交通隧道工程教育部重点实验室，四川 成都 610031)

随着地下工程的快速发展，盾构法施工技术可在不干扰城市正常功能的前提下快速完成隧道建设，已成为城市地下铁道及越江隧道施工的主流方法。盾构推进过程中，由于盾构外壳直径比管片直径大，盾尾脱离管片后，在土体与盾构隧道管片间形成一个环形柱状空隙。若不及时充填盾尾空隙，势必会导致管片上方土体产生较大沉降，严重影响隧道周边建筑物的安全[1−3]。对盾尾空隙进行壁后注浆是控制地层应力释放和地层变形的重要手段，且硬化后的注浆体可起到防水作用，使土压力作用均匀及确保隧道衬砌管片的早期稳定[4]。注浆压力作为壁后注浆的重要控制参数，直接决定了浆液在盾尾空隙中的充填速率、充填程度以及注浆过程中及注浆完成后浆体的压力大小和分布形式，并最后影响壁后注浆效果[5]。此外，在壁后注浆过程中，浆液对管片产生压力，压力达到一定程度时，可能引起管片整体或局部上浮、错台、开裂等破坏[6]。所以对水泥浆液壁后注浆扩散半径及其对管片造成的压力的研究是注浆技术能否成功应用的关键因素。注浆流体因不同的流变方程可分为牛顿流体、宾汉姆流体及幂律型流体。近年来，许多学者通过理论分析、数值模拟、模型试验等方法对水泥浆液的扩散形式、浆体压力分布、管片受力进行了大量的研究。阮文军[7]建立了基于浆液黏度时变性宾汉姆浆液的岩体裂隙注浆扩散模型；杨志全等[8]建立黏度时变性宾汉姆浆液的球形、柱半球形渗透扩散机制；白云等[9]借助牛顿流体模型，推导出盾尾空隙横断面内浆液的分布模型，该模型计算结果并与工程实测值吻合良好；袁小会等基于宾汉姆及牛顿流体，探讨了盾构壁后注浆压力在盾尾空隙的传递过程，导出注浆压力的传递公式；叶飞等[10]将浆液的扩散过程简化为其在土体中大量孔径不均匀的毛细管的渗流运动，建立了浆液渗透扩散力学模型。从目前检索的文献中来看，很少有学者对幂律型浆液渗透扩散进行研究，且上述研究成果基本上是基于浆液扩散区域内黏度不变或者浆液黏度时变性来开展研究的，未考虑浆液黏度空间分布的不均匀性。为解决上述问题，本文以幂律型浆液为研究对象，建立恒定注浆速率条件下管片壁后注浆渗透扩散模型，分别考虑了浆液稠度时空变化与空间稠度不变时的隧道管片注浆浆液渗透扩散规律，并推导了盾构壁后压力时空分布方程及因注浆造成的管片压力计算公式，为盾构隧道壁后注浆参数的选择提供了一定的计算依据。

1　盾构隧道管片注浆渗透扩散模型

1.1　基本假定

本文在分析盾构隧道管片注浆幂律型浆液的扩散过程时提出如下假定：

1) 被注介质和浆液满足均质、各向同性；

2) 在管片注浆过程中，浆液在注浆过程中流型保持不变，保证流体连续性方程成立；

3) 浆液为幂律型流体；

4) 浆液与盾尾、土体、管片接触面为不透水边界，不考虑在地下水的作用下不发生稀释的现象；

5) 管片注浆渗透过程中，不考虑浆体自重及管片曲率的影响，即认为盾构管片外表面为平面，浆液在被注介质中呈柱面渗透扩散。

1.2　幂律型浆液流变方程

幂律型浆液基本流变方程为：

式中：τ为剪应力；c(t)为幂律型浆液稠度系数，可以通过对浆液的时变曲线进行函数拟合得到；γ为剪切速率；v为剪切速率；n为流变指数。

1.3　幂律型浆液盾构管片注浆稠度时空分布

根据张庆松等[11]的研究成果，在恒定注浆速率条件下，注浆孔处的浆液稠度维持恒定，引入3个时间参数，注浆时间 t；浆液质点由注浆孔进入裂隙的时刻 ts，其与注浆孔的距离一一对应；浆液质点黏度增长时间tg，其浆液质点以进入裂隙ts为起点，以注浆时间t为终点。即设定注浆孔处浆液稠度为初始黏度值，浆液质点从注浆孔进入裂隙的时刻为浆液稠度增长的时间起点，并根据浆液注入量等于裂隙内扩散的浆液量，推求出浆液扩散区内的黏度时空分布方程。

现将其理论推广到盾构隧道管片注浆，并沿注浆孔形成柱形的渗透扩散方式，如图1所示。

图1　盾构隧道管片注浆柱形渗透扩散模型Fig. 1　Cylindrica penetration and diffusion model of shield tunnel segment grouting

依据质量守恒，浆液注入量与浆液渗透扩散量相等，可得：

式中：q为注浆速率；D为浆液柱形扩散体的厚度；φ为被注介质的孔隙率；l1为注浆时间t时的扩散半径。

由式(3)可得浆液的扩散半径l1为：

浆液质点由注浆孔进入盾尾间隙的时刻ts与其黏度增长时间tg之间的关系为：

依据质量守恒，对于浆液渗透扩散区中任一浆液质点而言，其从进入盾尾间隙时刻ts到注浆时间t时间段内的注浆量与该注浆质点离注浆孔距离 l的关系为：

将式(5)代入式(6)，可得l处所对应浆液黏度增长时间为：

故注浆时间为t时，l处所对应浆液黏度时空分布方程：

1.4　幂律型浆液渗流公式(广义达西定律)

在一个具有时空型幂律型水泥浆液圆管中，取与管轴为对称轴，半径为r的流体柱，长度为dl，圆管半径为r0，半径r＜r0，如图2所示。

图2　幂律型浆液在圆管中的流动示意图Fig. 2　Sketch of exponential fluid flow in a circular tube

在忽略幂律型浆液重力的条件下，流体柱受力满足以下的平衡关系：

式中：p与p+dp分别为流体柱段dl左右两端压力；τ为流体柱环表面所受的剪切力。

由式(9)可推求流体柱环表面剪切力为：

将式(10)代入幂律型浆液流变方程中得：

对式(11)采用分离变量法积分，并考虑边界条件 r=r0，v=0，得幂律型浆液在圆管截面的速度表达式：

半径为r0的圆管单位时间流量为：

将式(12)代入式(13)中得：

幂律型浆液在圆管的平均流速v为：

由Dupuit-Forchheimer关系式可得幂律型浆液在被注介质中运动的平均渗透速度为：

1.5　幂律型浆液盾构管片注浆渗透扩散规律

1.5.1考虑盾构管片注浆稠度时空分布不均匀性

幂律型浆液在渗透过程中的单位时间注浆量满足：

将式(8)与式(16)代入式(17)可得：

对式(18)进行恒等变换，可得浆液扩散区内的压力梯度：

对式(19)在(l0,l)范围内积分且考虑注浆的边界条件：即 l=l0时，p=p0，从而得到扩散区内任一半径l处的注浆压力：

令 l=l1时，p=pw，代入式(20)，可得注浆压力差与扩散半径的关系为：

其中：pw为注浆孔处地下水压力。

幂律型浆液稠度时间函数的表达形式不一，阮文军等[12]通过对幂律型浆液的时变曲线进行函数拟合得到稠度系数与时间呈幂指数变化关系。本文中为利用前人的幂律型浆液试验结果，得到可以解答的压力时空分布方程，并在不影响盾构壁后注浆渗透扩散参数影响关系的讨论的情况下，采用如下的稠度时间函数：

式中：c0为k幂律型浆液稠度时间函数的系数。

将式(22)代入式(20)～(21)中，可得任一半径 l处的注浆压力：

注浆压力差与扩散半径的关系：

幂律型水泥浆液对管片产生的压力为：

1.5.2不考虑盾构管片注浆稠度空间分布不均匀性

不考虑幂律型浆液稠度空间分布不均时，浆液质点的稠度只与注浆时间有关，而与离注浆孔的距离无关，则任一半径l处的注浆压力：

注浆压力差与扩散半径的关系：

幂律型水泥浆液对管片产生的压力为：

2　相关参数确定

幂律型浆液在盾尾壁后渗透扩散中的公式参数D，φ和r0确定如下：

浆液扩散厚度D为：

式中：λ为注入率；d为盾尾间隙厚度。

幂律型浆液渗透扩散中孔隙率φ是考虑盾构壁后空隙与被注土层本身孔隙率后的等效孔隙率η′[6]。

被注土层的孔隙率为：

式中：r为浆液扩散半径；γ1为被注土体的天然容重；γs为土粒重度；w为土的含水量。

幂律型浆液渗流公式r0可采用如下公式进行确定[13]：

式中：K为水在土层中的渗透系数；μ为水的黏度。

3　算例分析

某盾构管片注浆孔半径l0=2.5 cm，浆液扩散范围内的土层渗透系数K=0.01 cm/s，注入率λ=1.5，盾尾间隙d=10 cm，孔隙度η=0.4，注浆孔附近地下水压力pw=0，注浆速率q=75 L/min，温度20 ℃时，水的黏度 μ=1.01×10−3(N·s)/m2[6,9,14]。

幂律型水泥浆液流变方程与流变参数的时变性特征采用杨志全[15]的结论，水灰比W/C改变时，其幂律型浆液的流变方程也随之改变，水灰比为0.5，0.6工况下流变方程与流变参数如表1所示：

表1　幂律型水泥浆液流变方程与流变参数的时变性特征Table 1　Rheological equation and time-dependent behavior of rheological parameters on exponential fluid

3.1　管片注浆渗透扩散区内稠度时空分布比较

取注浆时间 300 s，将式(29)与式(3)代入式(4)中可得管片注浆渗透扩散半径l1=1 m，将相关参数代入式(8)与(22)中，可得幂律型浆液扩散区内稠度时空分布曲线，如图3所示。

图3　幂律型浆液扩散区内稠度空间分布曲线Fig. 3　Spatial distribution curves of consistency in exponential fluid diffusion zone

从图3可以看出，考虑稠度空间分布不均时，幂律型浆液稠度随离注浆孔的距离的增加呈非线性增长，这是由于离注浆孔越远的浆液质点有更多的稠度增长时间。并且离注浆孔越远，稠度增长速率也随之加快。不考虑稠度空间分布不均时，随离注浆孔的距离的增加，幂律型浆液稠度为一定值，且不考虑稠度空间分布不均所计算得到的稠度值与考虑稠度空间分布不均所计算得到的稠度值在离注浆孔1 m处(即扩散锋面)大小相等。

水灰比W/C=0.6的幂律型浆液稠度分布曲线在W/C=0.5的幂律型浆液稠度分布曲线的下方。且考虑稠度空间分布不均(W/C=0.5)时扩散锋面与注浆孔处的稠度差值是考虑稠度分布不均(W/C=0.6)时扩散锋面与注浆孔处的稠度差值的2.6倍。说明考虑稠度空间分布不均时，水灰比W/C=0.5的幂律型浆液稠度增长速率比水灰比W/C=0.6的幂律型浆液稠度增长速率快。

3.2　不同的注浆压力大小

以幂律型浆液的注浆终压为注浆结束的标准，不同的注浆压力下(0.1～0.5 MPa)管片注浆浆液扩散半径及浆液对管片产生的压力变化如图4～5所示。

图4　幂律型浆液扩散半径与注浆压力的关系曲线Fig. 4　Relation curves between the diffusion radius of exponential fluid and the grouting pressure

从图4和图5可以看出，相同水灰比下，考虑幂律型浆液稠度空间分布不均时的扩散半径及管片所受压力随注浆压力变化的曲线高于不考虑浆液稠度空间分布不均时所得曲线。这是由于考虑浆液稠度空间分布不均时，计算所得黏滞阻力偏小，导致扩散半径及管片所受压力偏大。

考虑幂律型浆液稠度空间分布不均，浆液扩散半径随注浆压力的增加呈近似线性增长，管片所受的浆液压力随注浆压力的增大而快速增大，呈较明显的非线性特征。由此可见，单纯的增加注浆压力虽能保证浆液扩散半径，但也会导致浆液对管片产生的压力过大而使管片发生错台、开裂等现象，即在实际工程中不能通过增加注浆压力来改善注浆效果。

图5　管片所受压力与注浆压力的关系曲线Fig. 5　Relation curves between segment pressure and grouting pressure

当注浆压力相同时，水灰比W/C=0.6的幂律型浆液较W/C=0.5有更大的浆液扩散半径及管片所受压力。此外，水灰比W/C=0.6的管片所受压力增加速率大于水灰比 W/C=0.5的管片所受压力增加速率，而扩散半径增长速率则较为接近。综合考虑盾构隧道衬砌管片的受力安全，不能单纯的增加水灰比来增加浆液扩散半径，改变注浆效果。

3.3　不同的注浆时间大小

以幂律型浆液的注浆时间为注浆结束的标准，将式(4)代入式(24)，(25)，(27)和(28)中，不同的注浆时间(0～600 s)下管片注浆压力及浆液对管片产生的压力变化如图6和图7所示。

从图6和图7可以看出，注浆压力及浆液对管片产生的压力随注浆时间的增大而增大。相同水灰比下，不考虑幂律型浆液稠度空间分布不均匀性所得的浆液注浆压力及管片所受压力随注浆时间变化的曲线高于考虑浆液稠度空间分布不均时所得的曲线。这是由于注浆时间与浆液扩散半径有一一对应关系，注浆时间为一定值时，考虑浆液稠度空间分布不均时，黏滞阻力偏小，计算所得的注浆压力和管片所受压力也随之减小，这对工程是有利的因素。

图6　幂律型浆液注浆压力与注浆时间的关系曲线Fig. 6　Relation curves between the grouting pressure and the grouting time

图7　管片所受压力与注浆时间的关系曲线Fig. 7　Relation curves between segment pressure and grouting time

考虑幂律型浆液稠度空间分布不均，注浆压力随注浆时间的增加而增加，注浆压力前期增加速度较快，而后逐渐变得缓慢；管片所受的浆液压力随注浆的增大而快速增大，呈较明显的非线性特征。由此可见，单纯的增加注浆时间亦会导致浆液对管片产生的压力过大而使管片发生错台、开裂等现象。

当注浆时间相同时，水灰比W/C=0.6的幂律型浆液较 W/C=0.5有较小的注浆压力及管片所受压力。此外，水灰比W/C=0.5时管片所受压力的增加速率大于水灰比 W/C=0.6时管片所受压力增加速率，而注浆压力增长速率则较为接近。

4　结论

1) 本文以幂律型浆液为研究对象，建立恒定注浆速率条件下管片壁后注浆渗透扩散模型，分别考虑了浆液稠度时空变化与空间稠度不变时的隧道管片注浆浆液渗透扩散规律，并推导了盾构壁后压力时空分布方程及因注浆造成的管片压力计算公式。此外对浆液扩散区内稠度时空变化与空间稠度不变的计算结果进行了相应的比较，说明了盾构壁后注浆考虑稠度时空变化的必要性。

2) 分析了以幂律型浆液的注浆终压为注浆结束的标准，幂律型浆液稠度空间分布不均时，浆液扩散半径随注浆压力的增加呈近似线性增长，管片所受的浆液压力随注浆压力的增大而快速增大，呈较明显的非线性特征。当注浆压力相同时，随着水灰比的增大，浆液扩散半径及管片所受压力也随之增大。

3) 分析了以幂律型浆液的注浆时间为注浆结束的标准，幂律型浆液稠度空间分布不均时，注浆压力随注浆时间的增加而增加，注浆压力前期增加速度较快，而后逐渐变得缓慢；管片所受的浆液压力随注浆时间的增大而快速增大，呈较明显的非线性特征。当注浆时间相同时，随着水灰比的增大，注浆压力及管片所受压力随之减小。综合考虑盾构隧道衬砌管片的受力安全，不能单纯的增加或减少水灰比来增加来改变注浆效果。

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