试析指向核心素养培养的数学教学设计——以“反比例函数图像和性质（1）”为例

王逸勤 林晴岚 陈柳娟

（福建教育学院数学研修部，福建 福州 350025）

“数学核心素养”是当前数学基础教育中的热点，《普通高中数学课程标准（2017年版）》将高中阶段的数学核心素养定义为“具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力”，并将高中阶段的数学核心素养确定为数学抽象、逻辑推理、数学模型、直观想象、数学运算、数据分析六方面。［1］《义务教育数学课程标准（2011年版）》虽然四处出现 “数学素养”这个词，但它没有对数学核心素养的内涵与外延进行界定，以至于初中老师们对数学核心素养的内涵与外延不明确， 对初中数学教学实践过程可操作性不强，这将不利于基于数学核心素养高中教学的衔接。为此，笔者试以“反比例函数图像和性质（1）”对核心素养的培育进行解析。

一、基于数学核心素养的数学课堂教学设计示例

（一） 价值分析

“性质”体现“变中有不变”的思想。从反比例函数图像看，无论图像如何变，从左往右看总会呈现上升或下降的趋势，从函数值看，无论函数值如何变，它要么变大要么变小。［1］初中阶段主要用图像语言和文字语言来刻画函数性质，到了高中阶段就上升到用严谨的数学符号语言来刻画。

（二） 教学问题诊断分析

对于用描点法画图像，在画一次函数和二次函数的基础上，学生有自己的经验：列表、描点、连线，但反比例函数图像比正比例函数形态更复杂，因此画图存在困难，导致对其性质的理解也存在困难。［3］

（三）教学过程设计分析

1.复习旧知

［问题1］学过哪些函数？从哪几个方面学习这些函数？ 如何进行研究呢？

师生活动：引导学生回顾研究一次函数、二次函数思路和方法，得出研究函数的一般方法，确定研究思路。

教什么包括教学生学什么和教学生怎么学，那么教学生学什么？以知识为载体学研究的方法，加强“如何思考”的启发和引导，用数学思维思考世界；教学生怎么学？就是从哪些角度、哪些方面进行研究，［4］比如函数一般从函数概念、函数图像和性质、函数应用这三个方面进行研究，而函数图像和性质一般从数和形两个角度来分析，这样发挥“一般科学研究方法”的作用，积累研究方法经验，培养学生逻辑推理素养。

2.探求新知

［问题2］画出反比例函数y=6/x和y=12/x的图像

师生活动：引导学生回顾研究一次函数、二次函数图像的过程：列表、描点、连线，引导学生观察式子，k不等于0，容易想到分为k＞0和k＜0两种情况讨论。

学生获得图像一般要经历两个过程，（1）用描点法画图获得大致图像。认真对自变量进行取值并观察列表中的数据，描点画曲线时会注意曲线的位置、形状和走势，这无形中培养学生的数据分析能力和直观想象能力，在这过程中类比正比例函数图像和二次函数图像画法得到反比例函数图像，积累画图活动经验，培养学生逻辑推理和直观想象素养。（2）借助几何画板获得精致图像。当然，这徒手画出的反比例函数图像是大致图像，有的学生连的是折线图，要想验证画得是否正确，要借助几何画板软件，随着点数的增加，多媒体上的点越来越密，把无数个点一一显示出来，几何画板充分展示了反比例函数图像两支双曲线的生成过程，让学生经历双曲线的产生过程，学生由此理解曲线是由无数个点组成的，同时还会类比面是由无数条线组成，体是由无数个面组成的，［4］这为后续微积分知识做好铺垫，学生从感性认识上升到理性认识，在这过程中，感悟变化与对应思想、有限与无限思想，积累图像生成过程的思维活动经验，培养学生“大胆猜想，小心验证”合情推理素养、类比线到面和体，进一步发展学生直观想象。

［问题3］观察反比例函数y=6/x和y=12/x的图像，有哪些特征？

（1）图像经过象限有哪些？

（2）观察图像，随着x的增大，y变化情况如何？你能由它们的解析式说明理由吗？

（3）图像有怎样的对称性？你能由它们的解析式说明理由吗？

（4）图像与坐标轴有怎样的位置关系？你能由它们的解析式说明理由吗？

（5）对于反比例函数y=k/x（k＞0），你能得出（1）（2）（3）（4）同样的结论吗？

师生活动：师引导学生观察具体反比例函数图像特征，进而归纳得出一般反比例函数性质。

要获得函数性质，既离不开“形”，也离不开“数”，初中学生获得函数性质一般要经历两个阶段，直观感知阶段和定性描述阶段。 在直观感知阶段，观察这两个反比例函数图像“形”（形状、位置、变化趋势），从左往右看（是认知习惯，也是坐标轴特征的要求），图像呈下降趋势；函数不仅关于原点对称还关于直线y=x对称，类比正比例函数图像特征得到反比例函数的增减性、对称性，培养学生类比推理素养，而且还观察到不同于正比例函数图像的一个特征：无限接近于x，y轴，但不与x，y轴相交，也就是渐近性。渐近性刻画了函数的极限思想，当x趋于无穷大时，y趋于0，这为高等数学极限学习打下基础，为培养学生直观想象、抽象素养、逻辑推理素养创造条件。

在定性描述阶段，用图形语言描述性质不够准确，无法进行计算检验，须从解析式上进一步认知，从而通过“数”（解析式）的运算检验获得反比例函数的增减性、对称性、渐近性，从直观感知到定性描述，从感性认识到理性认识，为后续高中函数性质定量刻画学习做好准备，积累用数学思维思考问题的经验，提升了学生逻辑推理素养。

研究完具体反比例函数性质，猜测一般反比例函数y=k/x（k＞0）是否具有同样性质？通过几何画板验证（k取大于0的任意值），观察值不同时，反比例函数图像也不同，［2］引导学生感悟“变中有不变”函数思想，同时从函数解析式上进一步检验，通过观察特例、提出猜想、验证猜想并归纳结论，积累思维活动经验，不知不觉发展学生合情推理和抽象素养。

［问题4］对于反比例函数y=k/x（k＜0），它的图像和性质是怎样的？

师生活动：引导学生通过类比反比例函数y=k/x（k＞0）图像和性质，得出反比例函数y=k/x（k＜0）的图像和性质。

学生能自己思考的问题让他们自己思考，独立思考问题是数学育人很重要的一点，通过自己思考变成自己东西，积累活动经验，发展素养。要想研究反比例函数 y=k/x（k＜0），不难想到类比反比例函数y=k/x（k＞0），类比反比例函数y=k/x（k＞0）图像和性质的研究方法，想到从特殊反比例函数y=-6/x、y=-12/x入手到一般反比例函数y=k/x（k＜0），从数和形两个角度来研究反比例函数y=k/x（k＜0）图像和性质。提高学生解决问题和研究方法的能力，培养学生类比推理素养并进一步提升学生直观想象素养和合情推理素养。

［问题5］反比例函数y=6/x与y=-6/x图像有什么不同点？

师生活动：两个图像既有共同点，又有不同点，引导学生对比。

通过对比两个图像特征，除了都有两支双曲线以及渐近性一样，它们的象限位置、单调性以及对称性都不一样，是什么原因导致它们不一样？引导学生关注反比例系数“k”的不同引起它们性质不同，教师在引导学生观察、对比、归纳的过程中，促进学生抽象素养和逻辑推理素养的养成。

3.归纳总结

［问题6］你能否用自己的表达方式总结反比例函数 y=k/x（k≠0）图像的特征和性质［2］。

师生活动：引导学生用自己方式（列表或画思维导图）来梳理、归纳这节课知识点。

引导学生用自己方式（列表或画思维导图）来归纳这节课知识点，通过归纳，培养学生分类和抽象概括能力，体现学生抽象素养和推理素养。

4.应用新知

某用户需要一幅面积是10平方米的矩形窗帘，设窗帘的长为y米，宽为x米。（1）y与x之间有怎样的函数关系？（2）画出该函数图像

师生活动：根据题意列方程并画图像。

数学的语言本质就是模型，方程和函数是义务教育阶段两个重要的模型，而反比例函数是函数中较为重要的模型，反比例函数概念、性质、结构用到外部世界，体现建模的过程，同时学会分析数据，从数据中挖掘信息等。实现建模素养和数据分析素养的发展，会用模型表达现实世界。

二、指向核心素养培养的数学课堂教学设计教学建议

教师在进行指向核心素养培养的数学课堂教学设计时，可以从以下几个方面入手：

首先，增强“一般科学方法”指导。教学生学什么？教学生学研究方法及学如何研究。［3］学哪些研究方法？比如鼓励学生大胆发现问题和提出问题、引导学生经历归纳推理过程：观察特例—猜想—验证—归纳，教学生一些解决问题的策略：举例、画图法、从特殊到一般等。学如何研究，也就是对事物进行哪些方面研究，比如三角形，先是研究三角形的定性方面再研究三角形的定量方面。其次，把握数学本质。教师可以设计有思维含量的教学问题来把握数学本质。比如对“反比例函数图像与性质”进行追问：反比例函数性质教育价值是什么？“性质”体现“变中有不变”的思想［2］，这无形中发展学生抽象素养；反比例函数图像是什么？这涉及图像形成过程，有利于发展学生抽象思维；反比例函数图像有怎样特点？这涉及自变量和因变量间关系，有利于发展学生抽象和推理素养。再次，挖掘知识发生发展过程。教师要努力挖掘知识发生发展过程，设计有意义的活动，让学生经历知识生成和推导过程，在这过程中感悟数学思想，提升数学核心素养。