关于高中数学建模教学的实践与思考

陈元章

（厦门海沧实验中学，福建 厦门 361026）

高中数学建模的课堂教学实践是一个不断探索和创新、不断完善和提升的过程。通过引入数学建模思想和方法，使数学建模渗透进学生学习数学的始终，可增进学生对数学建模的认知和理解，更好地促进学生数学思维的发展，激发学生学习数学的兴趣和热情，形成灵活应用数学建模知识的实践探究能力、观察分析和抽象概括能力，深刻体会高中数学建模教学的价值和意义。

一、在概念教学中渗透建模思想，让学生深入理解数学概念内涵

数学概念教学极为重要，为了让数学概念教学中不单调不枯燥，教师可尝试进行数学建模，对核心概念本质属性进行抽象又简洁的刻画，体验数学概念的获得过程。在建模过程中，为了更好地培育学生的主动学习意识和精神，发展未来生活中实用的知识和能力，教师要引领学生主动学习、自主发现、独立思考、善于归纳、勇于反思。概念模型建构的关键是创设数学建模问题情境，它可让学生充分理解数学概念，形成开放性思维，帮助理解开放度较大的概念习题。以概念模型建构为契机，形成独特的体验式教学风格，使数学建模思想渗透到学生的数学学习过程中，形成学数学用数学的建模意识。

案例1：在人教版《高中数学必修1》指数函数一课中的概念教学，教师引入数学建模的思想，运用建模的方法来进行教学。首先，引入“奖励硬币”的建模情境和问题，如果1号学生奖2枚硬币、2号学生奖4枚硬币、3号学生奖8枚硬币……，那么51号学生应当奖多少枚硬币？引领学生自主发现，1号：2=21；2号4=22；3号8=23……大胆假设，归纳得出y=2x（y代表学生奖励的硬币数，x代表学生的座号数），然后再从具体的建模问题情境中抽象出数学模型y=ax。

在这个巧妙的数学建模情境问题中，可以使学生充分认识指数的概念，理解指数函数的内涵与外延，并且在这个“奖励硬币”的娱乐性学习活动过程中，极大激发学生学习数学的兴趣。

二、在解题教学中引入建模方法，提高学生应用数学的能力

在解决各类习题时，建立数学模型是一种十分有效的方法。习题教学的有效教学策略是教师采用一定数量的习题，让学生进行小组合作，完成数学建模的学习。通过数学建模的设计与合作学习，可以较好地培养学生的合作能力，培养学生观察生活、分析问题、解决问题的能力，把学生带入数学世界，充分感受到数学的魅力，从而主动地融入到数学的学习中。用数学建模的思想方法解决数学习题，更好地巩固所学的数学知识，培养学生的数学应用意识，增强学生关于数学建模思想方法的认识，提高学生应用数学的能力。选用教材内外的典例时，需要教师考虑所学的数学知识与生活应用紧密联系的特点，体现课标中数学知识生活化的要求。

案例2：健身场所通常会有一个身高体重对照表，成年人〔身高（cm）-100〕×0.9=标准体重（kg），如果体重超过标准体重的120%为偏胖，低于标准体重的80%为偏瘦。试问：身高175cm、体重为78kg的未成年男生的体重是否属于正常值？

首先，教师可以引导合作小组Ⅰ的学生进行建模准备，调查并采集未成年男生的身高及体重的数据；其次，让合作小组Ⅱ的学生进行数据处理。以身高为横坐标，体重为纵坐标，绘制散点坐标图；再次，合作小组Ⅲ的学生进行数据分析。根据所学数学知识，提出数学模型假设，数学模型为指数型y=a·bx或y=ax+b（x身高，y体重）。

三、在作业讲评教学中巩固建模能力，培养学生对模型的直观识别能力

高中数学课堂教学时间极其有限，没有给学生充分内化的时间，因此必须布置课外作业以加强所学的建模知识，加深对建模思想和方法的理解和掌握，在课堂上还需要重点讲评部分建模作业加以巩固，以形成建模技能，达到熟练掌握的目的。从趣味性、生活化的数学建模作业中，学生感受和体验到数学的实用性价值，增强了数学建模思想。在讲评教学中，重点巩固建模的过程，着重提升学生的观察分析能力、归纳总结能力与逻辑推理能力，提高学生对数学模型的直观识别能力。

案例3：高中数学概念知识中的函数概念极其抽象，为了使学生更深刻地理解函数概念的本质，教师可考虑重点讲评如下数学建模作业的函数模型。

（1）某城市出租车的收费标准为：三公里之内为8元，每增加一公里增加1.7元。请问：某人坐了10公里，需付多少钱？

根据题目的条件，可建模0≤S≤3，y=8；S≥3，y=8+1.7（S-3），建模后进行验证，算出y=8+1.7（S-3）=8+1.7X7=19.9。

（2）移动通讯开设两种不同的通讯业务，“全球通”是预先交纳50元月基础费用，再每通话1分钟付电话费0.4元；“神州行”则无须交纳月基础费用，每通话1分钟付电话费0.6元。如果以一个月为期，通话100分钟，哪种更合算？

假设通话时间为t，“全球通”的通讯方式的费用为y1元，“神州行”的费用为y2元。根据题目的问题情境，建模结果为y1=50+0.4t；y2=0.6t。利用数学模型可解决问题，y1=50+0.4t=50+40=90元，y2=0.6t=0.6×100=60元。经对比，神州行花费少，更合算。

四、关于高中数学建模教学的若干思考

1.建模教学要立足于学习兴趣和知识基础

建模教学并非易事，需要学生对实际问题研究具有浓厚兴趣和深厚扎实的数学知识，要求教师具备深入研究的能力，能准确观察研究对象的固有特征，发现内在规律，建立起反映实际问题的数量关系，分析建模问题与数学知识之间的关联性，使数学本质由模糊逐渐走向清晰。

2.建模教学要注重过程和环境创设

数学建模教学的指导思想是：以实验为基础，以学生为中心，以问题为主线，以培养能力为目标。这就要求教师在建模教学时，要重学生的体验过程，体验利用数学知识和方法去分析和解决问题的全过程，提高分析问题和解决问题的能力，以及应用数学的意识和能力。教学过程的重点是创造建模情境，而建模情境和问题没有既定模式和现成答案，需要学生发挥想象力、联想力和创造力，对于激发学生的发散性思维有极大的作用和意义，可激发学生探索数学模型的欲望和热情，增强获取新知识能力和创新探究能力，因而，教学时教师要重过程轻结果，重环境创设轻知识获取。

3.建模教学要重视模型检验环节

建模具有涉及面广、形式灵活等特点。每个数学模型都存在一定的局限性，只适用于一定的条件范围。有的建模过程没有经过规范的步骤，缺乏模型检验环节。模型检验是将模型分析的结果和实际情形进行对比，以验证模型的准确性、合理性和适用性，如果模型与实际较吻合，就可解释实际含义，如果不吻合，就应该修改假设，重新建模。

总之，教师要积极创设建模情境，成为学生的引领者和促进者，让学生积极主动地参与到数学建模的学习中来，感知数学模型的建构方式，成为建模的有心人。教师要根据学生的学情，把握数学模型问题的深度和难度，激发和维持学生建模的学习欲望，培养数学创造性思维，将建模思想和方法应用于现实生活中，以提高学生的抽象概括能力和应用解题能力。

［1］杨立超.高中数学建模教学探究［D］.大连：辽宁师范大学，2015.

［2］孙丹.建构主义理论指导下的中学数学建模教学研究［D］.延吉：延边大学，2015.

［3］徐园园.高中数学建模教学策略［D］.西安：西北大学，2015.

（陈元章，厦门海沧实验中学特级教师）