浅谈数形结合思想在中学数学中的应用

严海华

摘 要 数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合来解决问题的思想方法，在中学数学中存在着广泛的应用。在解决某些数学问题时，如果能恰当、合理地把数量问题与图形问题结合起来，就能将数量关系的问题转化为图形性质的问题或将图形性质的问题转化为数量关系的问题，这样能够化繁为简，化难为易，化抽象为直观，具有启迪思维，明确解题方向的作用。

关键词 数形结合思想;数形结合解题;数形结合转化

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）23-0123-01

数学思想是分析、处理和解決数学问题的重要想法，是对数学规律的理解再认识，归纳起来大致有如下几种：方程思想、分类思想、数形结合思想、整体思想、函数思想、化归思想等，掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下良好基础，其中数形结合思想是一种应用十分广泛的数学思想，在教学中注重对学生数形结合思想的培养，是提高学生数学素质的一个重要途径。数形结合是运用数和形的相互关系来解决数学问题的思想方法，“数”与“形”是数学中最基本的两个概念，是直观与抽象在数学中的体现。二者的有机结合，是数学魅力所在，通过数形结合，可将抽象的数学语言与直观的几何图形相结合，把数量关系转化为图形性质来研究问题，思路与方法便在图形中直观地显示出来，以形助数，可显现直观，简化解答，往往起到事半功倍的效果。

一、数形结合思想的内涵及地位

数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，是数学的基石。“数”主要指实数、复数和代数对象及其关系，属于抽象思维的范畴，是人的左脑思维的产物;“形”主要是指几何图形的位置关系及其性质，属于形象思维的范畴，是人的右脑思维的产物。数形结合思想是指通过“数”、“形”之间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想。数形结合思想能使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存，彼此激发，全面、协调、深入地发展思维能力。“形”中的一些量（如距离、角度、面积、体积等）在一定的单位制中可分别对应一些确定的“数”，这种对应，可使一些抽象的概念、复杂的数量关系借助其背景图形的性质，变得直观，便于找到解决问题的思路及方法。

数形结合作为一种常见的数学方法，沟通了代数、三角、向量与几何的内在联系，借助图形直观地研究数学问题，不仅可以加深对数量关系的理解，而且还可以简化运算过程，数形结合，常常能为合理解决有关问题提供一条便于接受的思路，它有助于探求问题途径、避繁就简、巧妙地得出结论，是提高解决问题能力的一种重要手段。

二、数形结合思想在中学数学解题中的应用

数形结合的途径有三种：以形助数，以数助形，即用代数方法研究几何问题;数形互助。中学数学教材中处处渗透着数形结合的思想，如研究集合常借助于韦恩图;研究不等式往往借助于数轴;研究函数的性质，往往借助于函数的图象;研究三角借助于单位圆和三角形等。（一）在集合中的应用。有的数学应用题中的数量关系比较复杂，若以图形帮助，则可以使数量关系明朗化，进而找出解题方法。（二）在函数与不等式中的应用。使用数形结合思想解决不等式与函数方面的问题，常常要借助不等式的几何意义，函数的图象，这种思想是把数量关系与空间形式结合起来考察的一种思想，这种思想借助“数”的准确性与“形”的直观性研究问题并解决问题。

重视数形结合思想，不但能在解题时化难为易，快速解题，还能发挥想象力、创造力，在平时的教学中，应注意对学生进行数学结合思想的教学。

三、在平面几何中的应用

有些较难的平面几何证明题，学生看到后往往眼花缭乱，无从下手，此时若借助代数方法，可以很快地找到解决途径;同样，有些比较难的代数证明题，可以根据数量关系借助平面几何的图形来解决。

四、在解析几何中的应用

坐标系的建立，实现了几何图形代数化，同时几何概念与几何术语也进入了代数，使抽象的代数概念有了形象而直观的模型，某些纯符号的代数表达式有了容易理解和容易把握的几何意义，在解决问题时，联想到有关代数式所表示的几何意义以及相应的直观图形，从而利用图形的性质来反映问题中的数量关系，这种代数式几何意义的再现，不仅有助于解题，而且也给出了问题形象化、直观化的目标与方向，使得抽象问题形象化，从而有益于几何直觉思维能力的培养。

五、在三角中的应用

有些三角方面的问题，学生看到后往往无法直接得到比较好的解决方法，可以借助函数图象，也可以与表达式的几何意义相联系，即常常借助三角形和单位圆来解决。

六、用数形结合思想解题时要注意的问题

（一）注意理解概念的深刻性。“数”与“形”的转换，是借助于一些基本知识和基本方法才能实现的，在转换的过程中，若对一些基本概念理解不深刻，缺乏严谨，引用不可靠的结论，错用几何意义，画出不准确的图形，就难免出错。

（二）注意选择图形的合理性。借助图形解题，往往可以通过条件转化，选择不同的图形来解题，但只有选择最优图形，才能使解题更加直观、简捷，不会出错。

七、数形结合思想应用意识与应用能力的培养

有的代数问题，可以把数量关系转化为图形性质的问题讨论，有的几何问题把图形的性质转化为数量关系来研究，相应问题就会化抽象为直观，化难为易，一些原来看似很难的问题就会迎刃而解，使问题得以简捷地解决。

著名数学家希尔伯特说过算术记号是写下来的图形，几何图形是画下来的公式，数与形的辩证统一关系，使得数形结合思想成为数学学习的一种基本思想，我们在数学教学中应该加强培养学生善于运用直观图形来分析、探索、解决数学问题的思维方法与习惯，从而形成数形结合的应用意识并增强应用能力。