关于排列组合的解法的探究

白艳娟

[摘要]排列组合问题是高中数学的重要知识之一，由于解这类问题时方法灵活，切入点多，且抽象性强，在做题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以成为学习的难点之一，在解决排列组合问题时，注意常见的问题解决策略，能有效减少学习这部分知识的难度。一些具体的解题方法的指导，再加上做题经验的累积，解决这类问题就不会那么困难了。

[关键词]排列；组合；解法；元素

学生之所以“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么，解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，而且充分发挥了学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。

一、对于两个原理的分析

在具体的教学过程中，要注意主体转换的等效性和可操作性。为此，我们可以先从两个原理中分析：

1.分类计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m+n种不同的方法。

2.分步计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m*n种不同的方法。

3.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关

（1）对于加法原理有以下三点：

①“斥”——互斥独立事件；

②模式：“做事”——“分类”——“加法”；

③关键：分类标准适当，分类不遗漏，不重复。

（2）对于乘法原理有以下三点：

①“联”——相依事件；

②模式：“做事”——“分步”——“乘法”

③关键：分步抓住特点，是每步互相之间有联系又彼此独立，设计合理得当。

只有弄清楚了这两个事件的关系与区别，才能熟练运用它解决实际问题。

二、解题策略

1.选择主要元素

例1.公共汽车上有3个坐位，现在上来6名乘客，每人坐1个座位，有几种坐法？

例2.公共汽车上有6个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种坐法？

分析：在例1中，6名乘客将被视为6个元素，3个空缺作为3个地点，然后问题将从6个不同元素中的3个元素中选取3个位置，坐着的方式完全不同。

2.相邻问题捆绑法

要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。

例3.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法。

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共480 种不同的排法。

3.不相邻用插空法

对于一些元素（或位置）不相邻的排列、组合问题，应先将其他元素（或位置）排好，再把不相邻的元素（或位置）在已排好的元素（或位置）间插空。

例4.5名女生3名男生站成一排照相，其中3名男生互不相鄰共有多少种站法？

解：先将5名女生排好，将3名男生插在5名女生之间的6个空位中，则站法有多少种。这个问题是插空法的典型例题。

4.“至少”型组合问题用隔板法

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C。

例5.4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？

解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有10种。

5.注意合理分类方法

元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。

例6.求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。

解：比2015大的四位数可分成以下三类：

第一类：3×××，4×××，5×××，共有：180个。

第二类：21××，23××，24××，25××，共有：48个

第三类：203×，204×，205×，共有：9个

∴比2015大的四位数共有237个。

6.涂色问题

对于这类题型主要是给出几种颜色，然后把这些颜色分别地涂上，可以先取后排的进行。

例7.如图：一个地区分为五个行政区域，现给地图着色，要求相邻区不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？用3种颜色涂呢？

分析：先涂其中的一个区域共有4种方法，其他区域共有12种，共有48种。当使用3种颜色的时候是4种情况，先涂区域3种，相对区域2种，共有24种，一共有72种涂法。

以上是一些具体的题型，实际中还有特殊的问题。特殊的问题都要特殊解决。

7.分堆问题

例8.一共有6本书，下面进行分类：一堆一本，一堆两本，一堆三本。甲得一本，乙得两本，丙得三本，一人得一本，一人得两本，一人得三本。平均分给甲、乙、丙三人，平均分成三堆，分成四堆，一堆三本，其余各一本。

这个问题要注意的是分堆的时候是否是平均分的问题，因为如果是平均分组问题，平均分组的时候要除以几的阶乘，这是问题的关键。一般是先选后排。

8.编号问题

例9.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种？ （答案：144）

数字1， 2， 3和4填写在四个标有1， 2， 3和4的正方形中。每个网格填充了多少种填充物，每个网格的数量与它填充的数字不同？

9.几何问题

例10.四面体的一个顶点为A，从其它顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一个平面上，有多少种不同的取法？

例11.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？

对于这类题也是特殊点特殊考虑，解决起来也简单，并不复杂。

（1）（直接法）含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有 30种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法。根据分类计数原理，与顶点A共面三点的取法有 30+3=33（种）

（2）（间接法）从10个顶点中取4个点的取法有 120种，除去4点共面的取法种数可以得到结果。从四面体同一个面上的6个点取出4点必定共面。有 60种，四面体的每一条棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形（对棱中点连线两两相交且互相平分）故4点不共面的取法为141种。

10.构造模型

例12.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C种。

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决。

解决排列组织问题的方法还有很多，通过这些方法的介绍，可以让学生在学习中有抓手，有据可依，有法可寻，学习起来能轻松愉快一些，学生也可根据自己学习到的一些新的方法进行归类总结，使自己在学习中有更大的收获。

参考文献：

[1]馮寅.关于映射与排列组合的交叉问题[J].中学数学，2003，（08）.

（责任编辑 冯 璐）